Tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\)sao cho phương trình:\({2^{{{\left( {x - 1}

Câu hỏi số 677463:

Vận dụng

Tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\)sao cho phương trình:

\({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {4^{\left| {x - m} \right|}}.{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) có đúng ba nghiệm phân biệt là:

A. 2.

B. \(\dfrac{3}{2}.\)

C. 0.

D. 3.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:677463

Giải chi tiết

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}{2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.lo{g_2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {4^{\left| {x - m} \right|}}.lo{g_2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.lo{g_2}\left( {{{(x - 1)}^2} + 2} \right) = {2^{2\left| {x - m} \right|}}.lo{g_2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\,(*)\end{array}\)

Đặt \(f(t) = {2^t}{\log _2}(t + 2),\,\,t \ge 0\); \(f'(t) = {2^t}\ln 2.{\log _2}(t + 2) + {2^t}\dfrac{1}{{(t + 2)\ln 2}}\,\, > 0,\forall t \ge 0\).

Vậy hàm số \(f(t) = {2^t}{\log _2}(t + 2)\)đồng biến trên \((0; + \infty )\).

Từ (*) ta có \(f\left[ {{{(x - 1)}^2}} \right] = f\left[ {2\left| {x - m} \right|} \right] \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 2\left| {x - m} \right|\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2(x - m) = {(x - 1)^2}\\2(x - m) = - {(x - 1)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g(x) = {x^2} - 4x + 1 + 2m = 0\,\,(a)\\{x^2} = 2m - 1\,\,(b)\end{array} \right.\)

Do các phương trình \((a)\) và \((b)\) là phương trình bậc hai nên để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt ta có các trường hợp sau:

TH1: \(m = \dfrac{1}{2}\), (b) chỉ có nghiệm kép bằng 0 và (a) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 (thỏa mãn).

TH2: \(m > \dfrac{1}{2}\), (b) có 2 nghiệm phân biệt \(x = \pm \sqrt {2m - 1} \) và (a) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng \( \pm \sqrt {2m - 1} \)

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\g( \pm \sqrt {2m - 1} ) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\g( \pm \sqrt {2m - 1} ) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{3}{2}\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\)(thỏa mãn).

+ TH3: \(m > \dfrac{1}{2}\), (b) có 2 nghiệm phân biệt \(x = \pm \sqrt {2m - 1} \) và (a) có nghiệm kép khác \( \pm \sqrt {2m - 1} \).

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\g( \pm \sqrt {2m - 1} ) \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{3}{2}\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\)(thỏa mãn).

Vậy tổng các giá trị của \(m\) là \(\dfrac{1}{2} + 1 + \dfrac{3}{2} = 3.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.