Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), \(AB = 2a\) và

Câu hỏi số 677467:

Vận dụng

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), \(AB = 2a\) và góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'C'\) và \(BC\). Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng

A. \(\dfrac{{7\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{6}\).

C. \(\dfrac{{7\sqrt 6 {a^3}}}{{24}}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:677467

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\), suy ra \(AB \bot \left( {CIC'} \right)\) nên góc giữa \(\left( {C'AB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\left( {CI,C'I} \right)\), suy ra \(\angle {C'IC} = 60^\circ \).

Tam giác \(C'IC\) vuông tại \(C\) nên \(C'C = CI .\tan \angle {C'IC} = \dfrac{{AB}}{2} .\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2} .AB .CI = {a^2}\).

Thể tích khối lăng trụ là \(V = CC' .{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .{a^2} = {a^3}\sqrt 3 \).

Trong \(\left( {ACC'A'} \right)\), kéo dài \(AM\) cắt \(CC'\) tại \(O\).

Suy ra \(C'M\) là đường trung bình của \(\Delta OAC\), do đó \(OC = 2CC' = 2a\sqrt 3 \).

Thể tích khối chóp \({V_{O.ACN}} = \dfrac{1}{3} .{S_{ACN}} .OC = \dfrac{1}{3} .\dfrac{1}{2} .{S_{ABC}} .2CC' = \dfrac{1}{3}V\).

Thể tích khối chóp \({V_{O.C'ME}} = \dfrac{1}{3} .{S_{C'ME}} .OC' = \dfrac{1}{3} .\dfrac{1}{8}{S_{A'B'C'}} .OC' = \dfrac{1}{{24}}V\).

Do đó \({V_{C'EM.CAN}} = {V_{O.ACN}} - {V_{O.C'ME}} = \dfrac{1}{3}V - \dfrac{1}{{24}}V = \dfrac{7}{{24}}V = \dfrac{7}{{24}} .{a^3}\sqrt 3 = \dfrac{{7\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\).

Vậy phần thể tích nhỏ hơn là \({V_{C'EM.CAN}} = \dfrac{{7\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.