Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và đường cao \(AH\) \(\left(

Câu hỏi số 677594:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và đường cao \(AH\) \(\left( {H \in BC} \right)\). Kẻ \(HI,HK\) lần lượt vuông góc với \(AB,AC\left( {I \in AB,K \in AC} \right)\). Chứng minh:
a) Tứ giác \(AIHK\) nội tiếp
b) \(AK.AC = AI.AB\)
c) \(OA\) vuông góc với \(IK\)
d) \(AB \cdot AC = 2R \cdot AH\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:677594

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác \(AIHK\) có \(\angle {AIH} + \angle {AKH} = {90^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }\).

Vậy tứ giác \(AIHK\) nội tiếp.
b) \(AK.AC = AI.AB\).

Xét tam giác vuông \(ABH\) có \(HI\) là đường cao suy ra \(AI \cdot AB = A{H^2}\left( 1 \right)\)

Xét tam giác vuông \(ACH\) có \(HK\) là đường cao suy ra \(AK.AC = A{H^2}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(AK.AC = AI.AB\).
c) \(OA\) vuông góc với \(IK\).

Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) của đường tròn tâm \(O\).
Xét đường tròn tâm \(O\), ta có \(\angle {xAB} = \angle {BCA} = \dfrac{1}{2}\)sđ cung AB (3)
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AIHK\), ta có

\(\angle {AIK} = \angle {AHK} = \dfrac{1}{2}\)sđ cung AK (4)

Mà \(\angle {ACB} = \angle {AHK}\left( 5 \right)\) vì cùng phụ \(\angle {KHC}\).
Từ (3), (4), (5) suy ra \(\angle {xAB} = \angle {AIK}\) (so le trong). Suy ra \(Ax//IK\) mà \(OA \bot Ax\).

Vậy \(OA\) vuông góc với \(IK\).
d) Kẻ đường kính \(AD\) của \(\left( {O;R} \right)\) ta có

\(\angle {ABH} = \angle {ADC} = \dfrac{1}{2}\)sđ cung AC

\(\angle {ACD} = \dfrac{1}{2}\) sđ cung AD \( = {90^ \circ }\)

\( \Rightarrow \Delta AHB\)~\(\Delta ACD{\rm{\;}}\) vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\angle {ABH} = \angle {ADC}}\\{\angle {AHB} = \angle {ACD} = {{90}^ \circ }}\end{array}} \right.\)

\(\; \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{AC}}{{AD}} \Leftrightarrow AH \cdot AD = AB \cdot AC{\rm{\;hay\;}}AB \cdot AC = 2R \cdot AH.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link