Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {1 + \sin x} \right){\cos ^2}x\)

Câu hỏi số 677750:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {1 + \sin x} \right){\cos ^2}x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 0\). Tích phân \(\int_0^{\dfrac{\pi }{2}} f \left( x \right){\rm{d}}x\) bằng

A. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \dfrac{1}{{36}}\).

B. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}} - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{17}}{{36}}\).

C. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{1}{{36}}\).

D. \(\dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \dfrac{{17}}{{36}}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:677750

Phương pháp giải

Công thức tích phân cơ bản

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f(x) = \int {(1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} } inx){\cos ^2}xdx\\ = \int {{{\cos }^2}xdx + \int {\sin x{{\cos }^2}xdx} } \\ = \int {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}} dx - \int {{{\cos }^2}xd(\cos x)} \\ = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}\sin 2x - \dfrac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C\\f(0) = 0 \Rightarrow C = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow f(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}\sin 2x - \dfrac{{{{\cos }^3}x}}{3} + \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow \int_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(x)dx = \int_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{4}\sin 2x - \dfrac{{{{\cos }^3}x}}{3} + \dfrac{1}{3}} \right)} } dx\\ = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{1}{{36}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.