Cho các số phức \(z\), \(w\) thỏa mãn \(z\bar w + \bar zw = 4\), \(\left| {z + w} \right| = 3\). Gọi \(M\),

Câu hỏi số 680196:

Vận dụng

Cho các số phức \(z\), \(w\) thỏa mãn \(z\bar w + \bar zw = 4\), \(\left| {z + w} \right| = 3\). Gọi \(M\), \(m\) tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {3z - w} \right| + \left| {z - 3w} \right|\). Giá trị của \({M^2} + 2m\) bằng

A. \(64.\)

B. \(28.\)

C. \(52 - 2\sqrt {26} .\)

D. \(40.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680196

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopski

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left| {z + w} \right| = 3 \Rightarrow {\left| {z + w} \right|^2} = 9\\ \Rightarrow \left( {\overline z + \overline w } \right)\left( {z + w} \right) = 9\\ \Leftrightarrow \overline z .z + \overline z .w + \overline w .z + \overline w .w = 9\\ \Leftrightarrow \overline z .z + \overline w .w = 5\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + {\left| w \right|^2} = 5\end{array}\)

\(\begin{array}{l}P = \left| {3z - w} \right| + \left| {z - 3w} \right|\\ \Rightarrow {P^2} = {\left( {\left| {3z - w} \right| + \left| {z - 3w} \right|} \right)^2} \le 2\left( {{{\left| {3z - w} \right|}^2} + {{\left| {z - 3w} \right|}^2}} \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left| {3z - w} \right|^2} = \left( {3\overline z - \overline w } \right)\left( {3z - w} \right) = 9z\overline z - 3\left( {\overline z w + \overline w .z} \right) + w.\overline w \\{\left| {z - 3w} \right|^2} = \left( {\overline z - 3\overline w } \right)\left( {z - 3w} \right) = z\overline z - 3\left( {\overline z w + \overline w .z} \right) + 9w.\overline w \\ \Rightarrow {P^2} \le 2\left[ {10\left( {z\overline z + w.\overline w } \right) - 6\left( {\overline z w + \overline w .z} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {P^2} \le 2\left( {10.5 - 6.4} \right) = 52\\ P \le 2\sqrt {13} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}P = \left| {3z - w} \right| + \left| {z - 3w} \right|\\ = \left| {3z - w} \right| + \left| {3w - z} \right|\\ \ge \left| {3z - w + 3w - z} \right|\\ \ge \left| {2z + 2w} \right| = 6\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {P_{\min }} = 6 = m\\ \Rightarrow {M^2} + 2m = {\left( {2\sqrt {13} } \right)^2} + 2.6 = 64\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.