Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị không âm, có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {

Câu hỏi số 680198:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị không âm, có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\) và thỏa mãn điều kiện \(f\left( x \right) = 2\int\limits_0^x {t\left[ {f\left( t \right) + 1} \right]{\rm{d}}t} \), \(x \in \mathbb{R}\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = xf\left( x \right)\), \(y = f'\left( x \right)\), \(x = 1\) bằng

A. \({\rm{e}}\).

B. \(\dfrac{{{\rm{e}} + 1}}{2}\).

C. \(\dfrac{{\rm{e}}}{2}\).

D. \(\dfrac{{{\rm{e}} - 1}}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680198

Phương pháp giải

Xác định hàm f(x) và tính giới hạn

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2\int\limits_0^x {t\left[ {f\left( t \right) + 1} \right]{\rm{d}}t} = 2\int\limits_0^x {tf\left( t \right){\rm{d}}t} + 2\int\limits_0^x {t{\rm{d}}t} \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2\int\limits_0^x {tf\left( t \right){\rm{d}}t} + {x^2}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 2xf\left( x \right) + 2x\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) - 2xf\left( x \right) = 2x\\ \Leftrightarrow {e^{ - {x^2}}}f'\left( x \right) - 2x{e^{ - {x^2}}}f\left( x \right) = 2x.{e^{ - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow {\left( {{e^{ - {x^2}}}.f\left( x \right)} \right)^\prime } = - {\left( {{e^{ - {x^2}}}} \right)^\prime }\\ \Leftrightarrow {e^{ - {x^2}}}.f\left( x \right) = - {e^{ - {x^2}}} + c\end{array}\)

Do \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow 0 = - 1 + c \Rightarrow c = 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {e^{ - {x^2}}}.f\left( x \right) = - {e^{ - {x^2}}} + 1\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{1 - {e^{ - {x^2}}}}}{{{e^{ - {x^2}}}}} = \dfrac{1}{{{e^{ - {x^2}}}}} - 1 = {e^{{x^2}}} - 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x{e^{{x^2}}}\end{array}\)

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = xf\left( x \right)\), \(y = f'\left( x \right)\), \(x = 1\) bằng

Ta có \(xf\left( x \right) = f'\left( x \right) \Leftrightarrow x\left( {{e^{{x^2}}} - 1} \right) = 2x{e^{{x^2}}} \Leftrightarrow x = 0\)

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\left| {\left( {xf\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right)} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^{{x^2}}} - 1} \right) - 2x{e^{{x^2}}}} \right|} dx\\ = \int\limits_0^1 {\left( {x{e^{{x^2}}} + x} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{1}{2}{e^{{x^2}}} + \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{e}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.