Trong không gian \(Oxyz,\)cho các điểm \(P\left( {7;9;0} \right)\), \(Q\left( {0;8;0} \right)\), \(R\left( { - 5;
Trong không gian \(Oxyz,\)cho các điểm \(P\left( {7;9;0} \right)\), \(Q\left( {0;8;0} \right)\), \(R\left( { - 5; - 7;0} \right)\). Điểm \(M\) di chuyển trong không gian thoả mãn \(\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MR} + 75 = 0.\) Giá trị nhỏ nhất của \(MP + 2MQ\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
\(P\left( {7,9,0} \right),Q\left( {0,8,0} \right),R\left( { - 5, - 7,0} \right)\)
Gọi \(M\left( {x,y,z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MP} \left( {7 - x,9 - y, - z} \right)\\\overrightarrow {MR} \left( { - 5 - x, - 7 - y, - z} \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {MR} + 75 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {7 - x} \right)\left( { - 5 - x} \right) + \left( {9 - y} \right)\left( { - 7 - y} \right) + {z^2} + 75 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 23 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 25\\ \Rightarrow M \in I\left( {1,1,0} \right),R = 5\end{array}\)
Lấy P trên đoạn IP sao cho \(MP = 2MB\)
Do \(\overrightarrow {IP} = \left( {6,8,0} \right) \Rightarrow IP = 10 = 2IM\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MP}} = \dfrac{{IM}}{{IP}} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow \Delta IMB \sim \Delta IPM\\ \Rightarrow \dfrac{{IB}}{{IM}} = \dfrac{{IM}}{{IP}} \Rightarrow IB = \dfrac{{I{M^2}}}{{IP}} = \dfrac{{25}}{{10}}\end{array}\)
Phương trình IP có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 6t\\y = 1 + 8t\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1 + 6t,1 + 8t,0} \right)\)
Do \(IB = \dfrac{{25}}{{10}} \Rightarrow {\left( {6t} \right)^2} + {\left( {8t} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{25}}{{10}}} \right)^2} \Rightarrow t = \pm \dfrac{1}{4}\)
Do \(IB < R = 5 \Rightarrow k = \dfrac{1}{4} \Rightarrow B\left( {\dfrac{5}{2},3,0} \right)\)
Ta có \(MP + 2MQ = 2\left( {MB + MQ} \right) \ge 2BQ = 2.\dfrac{{5\sqrt 5 }}{2} = 5\sqrt 5 \)
\( \Rightarrow MP + 2MQ\) nhỏ nhất bằng \(5\sqrt 5 \) khi M, Q, B thẳng hàng
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
