a) Cho parabol \(\left( P \right):y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx -

Câu hỏi số 680526:

Vận dụng

a) Cho parabol \(\left( P \right):y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = mx - \dfrac{1}{2}{m^2} + m + 1\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) sao cho \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\).
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên \(\left( {x,y} \right)\) của phương trình: \(xy - x + 3y = 6\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680526

Phương pháp giải

a) Xét phương trình hoành độ và áp dụng hệ thức vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}\,.\,{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)

b) Đưa phương trình về dạng \(\left( {x + 3} \right)\left( {y - 1} \right) = 3\) và lập bảng.

Giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là:

\(\dfrac{1}{2}{x^2} = mx - \dfrac{1}{2}{m^2} + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 2m - 2 = 0\)(1)

Ta có: \(\Delta ' = {b'^2} - ac = {\left( { - m} \right)^2} - 1\left( {{m^2} - 2m - 2} \right) = 2m + 2\)

Để \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\2m + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\).

Với \(m > - 1\) có 2 nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2m\\{x_1}\,.\,{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 2m - 2\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\)

\( \Rightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 2m - 2} \right) = 4 \Leftrightarrow 2m + 2 = 1 \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\;\left( {tm} \right)\).

Vậy \(m = - \dfrac{1}{2}\).

b) Ta có: \(xy - x + 3y = 6 \Leftrightarrow x\left( {y - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 3 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {y - 1} \right) = 3\).

Vì \(x,\;y\) nguyên nên ta có các trường hợp sau:

Vậy \(\left( {x,\;y} \right) = \left( { - 6;\;0} \right),\;\left( { - 4;\; - 2} \right),\;\left( { - 2;\;4} \right),\;\left( {0;\;2} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link