Cho tam giác nhọn \(ABC\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ

Câu hỏi số 680534:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\,\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC\)\(H\) thuộc \(BC\) ). Gọi \(P;Q\)lần lượt là chân của đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến các cạnh \(AB,AC\).

a) Chứng minh \(\angle {PQH} = \angle {BAH}\).

b) Hai đường thẳng \(PQ\) và \(BC\) cắt nhau tại \(M\). Chứng minh \(\Delta MQH\) ~ \(\Delta MHP\) và \(M{H^2} = MB.MC\) .

c) Đường thẳng \(MA\) và cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(K\) (\(K\) khác \(A\)). \(KH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D\) (\(D\) khác \(K\)) . Gọi \(J\) là trung điểm của \(HD\). Chứng minh \(JQ = JC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680534

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác \(APHQ\) nội tiếp từ đó suy ra hai góc cùng chắn một cung bằng nhau.

b) Chứng minh tứ giác \(BPQC\) nội tiếp từ đó suy ra \(\angle {MBP} = \angle {MQC}\) và chứng minh được hai tam giác đồng dạng.

c) Chứng minh \(JN\)là đường trung trực của \(QC\).

Giải chi tiết

a) Tứ giác \(APHQ\) có \(\angle {APH} + \angle {AQH} = {180^0}\)

Suy ra tứ giác \(APHQ\) nội tiếp

\( \Rightarrow \angle {PQH} = \angle {PAH}\) hay \(\angle {PQH} = \angle {BAH}\).

b) Ta có \(\angle {PQH} = \angle {BAH}\) (cmt)

mà \(\angle {BAH} = \angle {MHP}\) ( cùng phụ \(\angle {PBH}\)) nên \(\angle {MQH} = \angle {MHP}\) và \(\angle {PMH}\) góc chung

\( \Rightarrow \Delta MQH\) ~ \(\Delta MHP(g.g) \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{MH}} = \dfrac{{MH}}{{MP}} \Rightarrow M{H^2} = MP.MQ\,\,\,(1)\)

Chứng minh được tứ giác \(BPQC\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle {MBP} = \angle {MQC}\) và \(\angle {BMP}\) góc chung

\( \Rightarrow \Delta MBP\) ~ \(\Delta MQC(g.g) \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MQ}} = \dfrac{{MP}}{{MC}} \Rightarrow MP.MQ = MB.MC\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow M{H^2} = MB.MC\)

c) Vì \(AKBC\)là tứ giác nội tiếp nên \(\angle {MKB} = \angle {MCA}\) (cùng bù với \(\angle {AKB}\)), mà \(\angle {AMC}\)là góc chung

\( \Rightarrow \Delta MKB\) ~ \(\Delta MCA(g.g) \Rightarrow \dfrac{{MK}}{{MC}} = \dfrac{{MB}}{{MA}} \Rightarrow MK.MA = MB.MC\)

Mà \(M{H^2} = MB.MC \Rightarrow M{H^2} = MK.MA\)

Do \(\Delta AHM\) vuông tại \(H \Rightarrow HK\) là đường cao của \(\Delta AHM\) (vì \(\Delta MHA\) ~ \(\Delta MKH\))

\( \Rightarrow AK \bot KH \Rightarrow AK \bot KD \Rightarrow AD\) là đường kính của \(\left( O \right)\)

Suy \(\angle {ACD} = {90^0}\)nên \(DC \bot AC\)

Mà \(HQ \bot AC \Rightarrow DC\)// \(HQ\) nên \(HQCD\) là hình thang

Gọi \(N\)là trung điểm \(QC\,\,\,(3)\) \( \Rightarrow JN\)của là đường trung bình của hình thang \(HQCD\)

\( \Rightarrow JN\)//\(HQ \Rightarrow JN \bot QC\,\,(4)\)

Từ \(\left( 3 \right)\)và \(\left( 4 \right) \Rightarrow JN\)là đường trung trực của \(QC \Rightarrow JQ = JC\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link