a) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) sao cho giá trị của biểu thức \({x^2} + x + 6\) là một số

Câu hỏi số 680533:

Vận dụng

a) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) sao cho giá trị của biểu thức \({x^2} + x + 6\) là một số chính phương.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({y^2} = - 2\left( {{x^6} - {x^3}y - 32} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680533

Phương pháp giải

a) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

b) Đưa về phương trình bậc 2 ẩn y và tính \(\Delta \).

Giải chi tiết

a) Giải sử \({x^2} + x + 6\) là số chính phương.

Suy ra tồn tại số \(k \in \mathbb{N}\) sao cho \({x^2} + x + 6 = {k^2} \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} + x + 6} \right) = 4{k^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2k} \right)^2} - {(2x + 1)^2} = 23 \Leftrightarrow \left( {2k + 2x + 1} \right)\left( {2k - 2x - 1} \right) = 23\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2k + 2x + 1 = 23\\2k - 2x - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2k + 2x + 1 = 1\\2k - 2x - 1 = 23\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 6\)

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}2k + 2x + 1 = - 23\\2k - 2x - 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 6\)

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}2k + 2x + 1 = - 1\\2k - 2x - 1 = - 23\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)

Với \(x \in \left\{ { - 6;5} \right\}\)thì \({x^2} + x + 6\) là số chính phương

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({y^2} = - 2\left( {{x^6} - {x^3}y - 32} \right).\)

\({y^2} = - 2\left( {{x^6} - {x^3}y - 32} \right) \Leftrightarrow {y^2} - 2{x^3}y + 2{x^6} - 64 = 0\)

\(\Delta ' = - {x^6} + 64 \ge 0 \Leftrightarrow \left| x \right| \le 2\)

\( \Rightarrow x = \pm 1;0; \pm 2\)

Với \(x = 0 \Leftrightarrow y = \pm 8\)

Với \(x = 1 \Rightarrow {y^2} - 2y - 62 = 0.\) (loại)

Với \(x = - 1 \Rightarrow {y^2} + 2y - 62 = 0.\) (loại)

Với \(x = 2 \Rightarrow {y^2} - 16y + 64 = 0 \Leftrightarrow y = 8\)

Với \(x = - 2 \Rightarrow {y^2} + 16y + 64 = 0 \Leftrightarrow y = - 8.\)

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là \(\left( {0;8} \right)\); \(\left( {0; - 8} \right)\); \(\left( {2;8} \right)\); \(\left( { - 2; - 8} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link