a) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) sao cho giá trị của biểu thức \({x^2} + x + 6\) là một số

Câu hỏi số 680533:

Vận dụng

a) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) sao cho giá trị của biểu thức \({x^2} + x + 6\) là một số chính phương.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({y^2} = - 2\left( {{x^6} - {x^3}y - 32} \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680533

Phương pháp giải

a) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

b) Đưa về phương trình bậc 2 ẩn y và tính \(\Delta \).

Giải chi tiết

a) Giải sử \({x^2} + x + 6\) là số chính phương.

Suy ra tồn tại số \(k \in \mathbb{N}\) sao cho \({x^2} + x + 6 = {k^2} \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} + x + 6} \right) = 4{k^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2k} \right)^2} - {(2x + 1)^2} = 23 \Leftrightarrow \left( {2k + 2x + 1} \right)\left( {2k - 2x - 1} \right) = 23\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2k + 2x + 1 = 23\\2k - 2x - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2k + 2x + 1 = 1\\2k - 2x - 1 = 23\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 6\)

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}2k + 2x + 1 = - 23\\2k - 2x - 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 6\)

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}2k + 2x + 1 = - 1\\2k - 2x - 1 = - 23\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)

Với \(x \in \left\{ { - 6;5} \right\}\)thì \({x^2} + x + 6\) là số chính phương

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({y^2} = - 2\left( {{x^6} - {x^3}y - 32} \right).\)

\({y^2} = - 2\left( {{x^6} - {x^3}y - 32} \right) \Leftrightarrow {y^2} - 2{x^3}y + 2{x^6} - 64 = 0\)

\(\Delta ' = - {x^6} + 64 \ge 0 \Leftrightarrow \left| x \right| \le 2\)

\( \Rightarrow x = \pm 1;0; \pm 2\)

Với \(x = 0 \Leftrightarrow y = \pm 8\)

Với \(x = 1 \Rightarrow {y^2} - 2y - 62 = 0.\) (loại)

Với \(x = - 1 \Rightarrow {y^2} + 2y - 62 = 0.\) (loại)

Với \(x = 2 \Rightarrow {y^2} - 16y + 64 = 0 \Leftrightarrow y = 8\)

Với \(x = - 2 \Rightarrow {y^2} + 16y + 64 = 0 \Leftrightarrow y = - 8.\)

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là \(\left( {0;8} \right)\); \(\left( {0; - 8} \right)\); \(\left( {2;8} \right)\); \(\left( { - 2; - 8} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link