1) Giải phương trình \(\sqrt {x - 3} - \sqrt {2x - 7} = 2x - 8\)2) Cho \(a,b\) và \(c\) là các số

Câu hỏi số 680670:

Vận dụng

1) Giải phương trình \(\sqrt {x - 3} - \sqrt {2x - 7} = 2x - 8\)

2) Cho \(a,b\) và \(c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện \({a^2} - {c^2} = c,{c^2} - {b^2} = b\) và \({b^2} - {a^2} = a\). Chứng minh \(\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680670

Phương pháp giải

1) Sử dụng nhân liên hợp.

2) Theo đề bài ta có \({a^2} - {c^2} + {c^2} - {b^2} = c + b\) và \(a,b,c \ne 0\) nên \({a^2} - {b^2} = c + b\). Từ đó ta xét các trường hợp.

Giải chi tiết

1) Điều kiện xác định \(x \ge \dfrac{7}{2}\).
Sử dụng nhân liên hợp, ta có phương trình ban đầu tương đương với

\(\dfrac{{x - 3 - 2x + 7}}{{\sqrt {x - 3} + \sqrt {2x - 7} }} = 2x - 8.\)

Chuyển vế, rút nhân tử chung ta được

\(\left( {x - 4} \right)\left( {2 + \dfrac{1}{{\sqrt {x - 3} + \sqrt {2x - 7} }}} \right) = 0.\)

Ta có \(\sqrt {x - 3} \ge 0,\sqrt {2x - 7} \ge 0\) nên \(2 + \dfrac{1}{{\sqrt {x - 3} + \sqrt {2x - 7} }} > 0\) với mọi \(x \ge \dfrac{7}{2}\), kéo theo \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 4\).

2) Theo đề bài ta có \({a^2} - {c^2} + {c^2} - {b^2} = c + b\) và \(a,b,c \ne 0\) nên \({a^2} - {b^2} = c + b\).

Nếu \(a + b = 0\) thì \(a = - b\).

Tuy nhiên khi đó \(a = {b^2} - {a^2} = 0\) là trái giả thiết.

Do đó, ta phải có \(a + b \ne 0\) dẫn tới \(a - b = \dfrac{{c + b}}{{a + b}}\).
Hoàn toàn tương tự ta có \(b - c = \dfrac{{c + a}}{{b + c}}\) và \(c - a = \dfrac{{a + b}}{{c + a}}\).
Từ đây ta suy ra \(\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = \dfrac{{c + b}}{{a + b}} \cdot \dfrac{{c + a}}{{b + c}} \cdot \dfrac{{a + b}}{{c + a}} = 1.\)

Đây chính là điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link