Cho 2023 điểm nằm trong một hình vuông cạnh 1. Một tam giác đều được gọi là phủ điểm \(M\)

Câu hỏi số 680674:

Vận dụng cao

Cho 2023 điểm nằm trong một hình vuông cạnh 1. Một tam giác đều được gọi là phủ điểm \(M\) nếu điểm \(M\) nằm trong tam giác hoặc nằm trên cạnh của tam giác.

1) Chứng minh tồn tại tam giác đều cạnh \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) phủ ít nhất 253 điểm trong 2023 điểm đã cho.

2) Chứng minh tồn tại tam giác đều cạnh \(\dfrac{{11}}{{12}}\) phủ ít nhất 506 điểm trong 2023 điểm đã cho.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680674

Phương pháp giải

Giải chi tiết

1) Chia hình vuông thành 8 phần như sau:

Mỗi một phần đều là tam giác vuông cân với độ dài cạnh bên bằng \(\dfrac{1}{2}\).
Theo nguyên lý Dirichlet, có 2023 điểm được phân bố vào trong 8 phần như hình vẽ trên nên tồn tại một phần có chứa ít nhất \(\left\lfloor {\dfrac{{2023}}{8}} \right\rfloor + 1 = 253{\rm{\;}}\) điểm.

Nói cách khác, tồn tại một tam giác vuông cân có cạnh bằng \(\dfrac{1}{2}\) chứa ít nhất 253 điểm.

Mà tam giác vuông cân có cạnh bên bằng \(\dfrac{1}{2}\) thì sẽ chứa trong một tam giác đều có cạnh bằng \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\), ta có điều phải chứng minh.
2) Gọi hình vuông được cho là \(ABCD\) với tâm \(O\).

Ta sử dụng hai đường vuông góc \(IF,EG\) đi qua \(O\) và tạo với các cạnh một góc \({60^ \circ }\) để chia hình vuông thành 4 tứ giác \(AIOG,BIOE,CEOF\), \(DFOG\) như hình vẽ.

Theo nguyên lý Dirichlet, có 2023 điểm được phân bố vào trong 4 phần như hình vẽ trên nên tồn tại một phần phủ ít nhất \(\left\lfloor {\dfrac{{2023}}{4}} \right\rfloor + 1 = 506{\rm{\;}}\) điểm.

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ giác \(AIOG\) phủ ít nhất 506 điểm.

Ta dựng tam giác đều \(IMN\) sao cho \(A \in IN,O \in IM\) và \(G \in MN\) như hình vẽ.

Kẻ \(OH \bot AB\). Ta có \(OI = \dfrac{{OH}}{{{\rm{sin}}{{60}^ \circ }}} = \) \(\dfrac{{1/2}}{{\sqrt 3 /2}} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Tương tự \(OG = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Ta lại có \(OM = \dfrac{{OG}}{{{\rm{tan}}{{60}^ \circ }}} = \dfrac{{1/\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{1}{3}\). Suy ra \(IM = OI + OM = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{3} < \dfrac{{11}}{{12}}.\)

Như vậy tam giác đều \(IMN\) có cạnh nhỏ hơn \(\dfrac{{11}}{{12}}\), suy ra tồn tại tam giác đều phủ toàn bộ tam giác đều \(IMN\). Tam giác đều ấy do đó phủ toàn bộ tứ giác \(AIOG\), suy ra nó cũng phủ ít nhất 506 điểm được cho.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link