1) Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x - m

Câu hỏi số 680683:

Vận dụng cao

1) Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m + 2} \right)x - m - 8\) (với \(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung, có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 - {x_2} = 0\).

2) Tìm các nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right)\) của phương trình: \(2024\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 2023\left( {2xy + 1} \right) = 5\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680683

Phương pháp giải

1) Xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện của \(\Delta \).

2) Đưa phương trình ban đầu về dạng \(2023{\left( {x - y} \right)^2} + {x^2} + {y^2} = 2028\).

Giải chi tiết

1) + Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m + 8 = 0\)

+ Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm dương phân biệt.

Ta có: \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {m + 8} \right) = {m^2} + 4m + 4 - 4m - 32 = {m^2} - 28\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 28 > 0\\m + 2 > 0\\m + 8 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\sqrt 7 \).

+ Theo đề bài ta có:

\(x_1^3 - {x_2} = 0 \Leftrightarrow x_1^3 = {x_2} \Leftrightarrow x_1^4 = {x_1}.{x_2} = m + 8 \Leftrightarrow {x_1} = \sqrt[4]{{m + 8}} \Rightarrow {x_2} = \sqrt[4]{{{{\left( {m + 8} \right)}^3}}}\)

Do đó \({x_1} + {x_2} = m + 2 \Leftrightarrow \sqrt[4]{{m + 8}} + \sqrt[4]{{{{\left( {m + 8} \right)}^3}}} = m + 8 - 6\).

+ Đặt \(\sqrt[4]{{m + 8}} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right),\) ta có:

\(t + {t^3} = {t^4} - 6 \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {{t^3} + {t^2} + 2t + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\) (vì \(t \ge 0 \Rightarrow {t^3} + {t^2} + 2t + 3 > 0\))

\(\sqrt[4]{{m + 8}} = 2 \Leftrightarrow m = 8\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = 8\)

2) \(2024\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 2023\left( {2xy + 1} \right) = 5\)

\( \Leftrightarrow 2023{\left( {x - y} \right)^2} + {x^2} + {y^2} = 2028\,\,\left( 1 \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2023{\left( {x - y} \right)^2} \le 2028 \Rightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \le \dfrac{{2028}}{{2023}} \Rightarrow 0 \le {\left( {x - y} \right)^2} \le 1 \Rightarrow 0 \le \left| {x - y} \right| \le 1\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {x - y} \right| = 0\\\left| {x - y} \right| = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Nếu \(\left| {x - y} \right| = 0 \Rightarrow x = y\). Từ (1) \( \Rightarrow 2{x^2} = 2028 \Leftrightarrow {x^2} = 1014\) (vô nghiệm nguyên)

Nếu \(\left| {x - y} \right| = 1\) thì \(\left[ \begin{array}{l}x - y = - 1\\x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = x - 1\\y = x + 1\end{array} \right.\) và từ (1) \( \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 5\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thay \(y = x - 1\) vào (2) ta được \({x^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow y = - 2\\x = 2 \Rightarrow y = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Thay \(y = x + 1\) vào (2) ta được \({x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 2\\x = - 2 \Rightarrow y = - 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy có 4 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn là \(\left( { - 1; - 2} \right);\left( {2;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( { - 2; - 1} \right)\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link