Cho các số nguyên dương \(x,y,z\) thoả mãn \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 18\left( {x + y + z} \right)\).1) Chứng

Câu hỏi số 680746:

Vận dụng cao

Cho các số nguyên dương \(x,y,z\) thoả mãn \({x^3} + {y^3} + {z^3} = 18\left( {x + y + z} \right)\).

1) Chứng minh rằng \(x + y + z\) chia hết cho 6 .

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = xyz\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680746

Phương pháp giải

Giải chi tiết

1) Từ giả thiết ta có \(\left( {{x^3} - x} \right) + \left( {{y^3} - y} \right) + \left( {{z^3} - z} \right) = 17\left( {x + y + z} \right)\).

Tích của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6 nên \({x^3} - x = \left( {x - 1} \right)x\left( {x + 1} \right) \vdots 6\).
Tương tự \({y^3} - y \vdots 6,{z^3} - z \vdots 6\). Suy ra \(17\left( {x + y + z} \right) \vdots 6\).
Mà 17 và 6 nguyên tố cùng nhau nên \(x + y + z:6\).

2) Ta có \(x + y + z = 6m,{x^3} + {y^3} + {z^3} = 108m\), với \(m \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Vì \(\dfrac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{3} \ge {\left( {\dfrac{{x + y + z}}{3}} \right)^3}\) nên \(\dfrac{{108m}}{3} \ge {\left( {\dfrac{{6m}}{3}} \right)^3} \Leftrightarrow {m^2} \le \dfrac{9}{2}\), suy ra \(m \le 2\).
Lúc này \(F = xyz \le {\left( {\dfrac{{x + y + z}}{3}} \right)^3} \le {\left( {\dfrac{{12}}{3}} \right)^3} = 64\) (1).
Từ \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right)\)

Suy ra \(108m - 3F = 6m\left( {36{m^2} - 3\left( {xy + yz + zx} \right)} \right) \Leftrightarrow F = 36m - 6m\left( {12{m^2} - \left( {xy + yz + zx} \right)} \right){\rm{.\;}}\)

Do đó \(F \vdots 6\) (2). Từ (1) và (2) suy ra \(F \le 60\) (3).
Đẳng thức ở (3) xảy ra, chẳng hạn khi
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z = 12}\\{60 = 72 - 12\left( {48 - \left( {xy + yz + zx} \right)} \right)}\\{xyz = 60}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z = 12}\\{xy + yz + zx = 47}\\{xyz = 60}\end{array} \Leftrightarrow \left( {x;y;z} \right)} \right.} \right.\) là hoán vị của \(\left( {3;4;5} \right)\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(F\) là 60 , đạt được chẳng hạn khi \(\left( {x;y;z} \right)\) là hoán vị của \(\left( {3;4;5} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link