1) Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), có ba góc nhọn, \(AB < AC\), hai

Câu hỏi số 680745:

Vận dụng cao

1) Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), có ba góc nhọn, \(AB < AC\), hai đường cao \(BE\) và \(CF\). Các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(S\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(BC\) và \(SO\).
a) Chứng minh rằng tam giác \(EAB\) đồng dạng với tam giác \(MBS\), từ đó suy ra tam giác \(AEM\) đồng dạng với tam giác \(ABS\).
b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AM\) và \(EF,P\) là giao điểm của \(SA\) và \(BC\). Chứng minh rằng \(NP\) vuông góc với \(BC\).

2) Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Lấy các điểm \(E,F\) thuộc cạnh \(AB\) (\(E\) nằm giữa \(A,F)\); \(G,H\) thuộc cạnh \(BC(G\) nằm giữa \(B,H);I,J\) thuộc cạnh \(CD\) (\(I\) nằm giữa \(C,J\)); \(K,M\) thuộc cạnh \(DA\) ( \(K\) nằm giữa \(D,M\) ) sao cho \(E,F,G,H,I,J,K,M\) đôi một phân biệt và khác các đỉnh của hình chữ nhật \(ABCD\), đồng thời hình đa giác \(EFGHIJKM\) có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình đa giác \(EFGHIJKM\) là các số hữu tỉ (theo đơn vị \({\rm{cm}}\)) thì \(EF = IJ\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680745

Giải chi tiết

a) Ta có \(OS \bot BC\) tại trung điểm \(M\) của \(BC\). Nên \(\angle {BEA} = \angle {SMB} = {90^ \circ }\).

Mà \(\angle {BAC} = \angle {SBC} = \dfrac{1}{2}{\rm{\;s}}\angle {BC}\). Suy ra \(\Delta EAB\) dồng dạng với \(\Delta MBS\).
Hai tam giác \(EAB,MBS\) đồng dạng nên \(\dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{BS}}{{BM}}\).
Tam giác \(BEC\) vuông tại \(E,EM\) là trung tuyến nên \(BM = ME\).
Suy ra \(\dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{BS}}{{ME}}\left( 1 \right)\).

Tam giác \(MEC\) cân tại \(M\) nên \(\angle {MEC} = \angle {MCE}\).

Mặt khác \(\angle {ABS} + \angle {ACB} = {180^ \circ } = \)\(\;\angle {AEM} + \angle {MEC} = \)\(\;\angle {AEM} + \angle {ACB}\) \(\; \Rightarrow \angle {ABS} = \angle {AEM}\)

Từ (1), (2) suy ra hai tam giác \(AEM,ABS\) đồng dạng.

b) Hai tam giác \(AEM,ABS\) đồng dạng nên \(\angle {BAP} = \angle {EAN}\); \(\angle {AME} = \angle {ASB}\) (3).
Mà tứ giác \(BCEF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) nên \(ABP = AEN\).

Suy ra hai tam giác \(AEN,ABP\) đồng dạng, dẫn tới \(\dfrac{{AN}}{{AP}} = \dfrac{{NE}}{{BP}}\) \(\left( 4 \right)\).

Ta có \(\angle {NEM} + \angle {ABC} + \angle {ACB} = \angle {NEM} + \angle {AEN} + \angle {MEC} = {180^ \circ }\).
Suy ra \(\angle {NEM} = \angle {BAC} = \angle {SBP}\) (5).
Từ (3) và (5) suy ra hai tam giác \(EMN,BSP\) đồng dạng.

Do đó \(\dfrac{{NE}}{{BP}} = \dfrac{{MN}}{{PS}}\left( 6 \right)\).
Từ (4) và (6) suy ra \(\dfrac{{AN}}{{AP}} = \dfrac{{NM}}{{PS}} \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{MN}} = \dfrac{{AP}}{{PS}} \Rightarrow NP//MS\).
Mà \(SM \bot BC \Rightarrow NP \bot BC\).

2) Gọi \(EF = a;FG = b;GH = c;HI = d;IJ = e;JK = f;KM = g;ME = h\) (theo đơn vị cm, với \(a,b,c,d,e,f,g,h\) là các số hữu tỉ dương).

Do các góc của hình bát giác \(EFGHIJKM\) bằng nhau nên mỗi góc trong của hình bát giác đó có số đo là \(\dfrac{{\left( {8 - 2} \right) \cdot {{180}^ \circ }}}{8} = {135^ \circ }\).

Suy ra mỗi góc ngoài của hình bát giác này là \({180^ \circ } - {135^ \circ } = {45^ \circ }\).
Do đó các tam giác \(MAE;FBG;CIH;DKJ\) là các tam giác vuông cân.
Ta có \(MA = AE = \dfrac{h}{{\sqrt 2 }};BF = BG = \dfrac{b}{{\sqrt 2 }};CH = CI = \dfrac{d}{{\sqrt 2 }};DK = DJ = \dfrac{f}{{\sqrt 2 }}\).
Vì \(AB = CD\) nên \(\dfrac{h}{{\sqrt 2 }} + a + \dfrac{b}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{f}{{\sqrt 2 }} + e + \dfrac{d}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left( {e - a} \right)\sqrt 2 = h + b - f - d\).
Nếu \(e - a \ne 0\) thì \(\sqrt 2 = \dfrac{{h + b - f - d}}{{e - a}}\), điều này vô lí, do \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ, còn \(\dfrac{{h + b - f - d}}{{e - a}}\) là số hữu tỉ.

Vậy \(e - a = 0 \Leftrightarrow e = a\) hay \(EF = IJ\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link