1. Cho phương trình \({x^4} - 4{x^2} + m + 2 = 0\) (1), với \(m\) là tham số.a) Giải phương trình (1) khi

Câu hỏi số 680754:

Vận dụng cao

1. Cho phương trình \({x^4} - 4{x^2} + m + 2 = 0\) (1), với \(m\) là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi \(m = - 7.\)

b) Tìm \(m\) để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2},\;{x_3},\;{x_4}\) thỏa mãn

\(\dfrac{1}{{x_1^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}} + \dfrac{1}{{x_3^2}} + \dfrac{1}{{x_4^2}} = 2{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}\)

2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + {y^2} + 3xy - 3x - 9 = 0\\\sqrt {{x^2} - y + 3} = 2x + y\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680754

Phương pháp giải

1. a) Đặt \(t = {x^2}\;\left( {t \ge 0} \right),\) giải phương trình bậc hai.

b) Áp dụng định lí vi-ét.

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Giải chi tiết

1. Cho phương trình \({x^4} - 4{x^2} + m + 2 = 0\) (1), với \(m\) là tham số.

a) Với \(m = - 7,\) ta có phương trình \({x^4} - 4{x^2} - 5 = 0.\)

Đặt \(t = {x^2}\;\left( {t \ge 0} \right),\) ta được \({t^2} - 4t - 5 = 0\) (*).

Giải phương trình (*) ta được \(t = - 1\) (loại) và \(t = 5\) (thỏa mãn).

Với \(t = 5\)ta được \({x^2} = 5 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 5 .\)

Vậy phương trình hai nghiệm \(x = \pm \sqrt 5 .\)

b) Đặt \(t = {x^2}\;(t \ge 0)\), ta được phương trình \({t^2} - 4t + m + 2 = 0\) (**).

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt \({t_1} > 0,\,\,{t_2} > 0.\)

Điều này tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - \left( {m + 2} \right) > 0\\2 > 0\\m + 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m < 2\) (a).

Theo bài ra \(\dfrac{1}{{x_1^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}} + \dfrac{1}{{x_3^2}} + \dfrac{1}{{x_4^2}} = 2{x_1}{x_2}{x_3}{x_4} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{{t_1}}} + \dfrac{2}{{{t_2}}} = 2{t_1}{t_2} \Leftrightarrow {t_1} + {t_2} = {\left( {{t_1}{t_2}} \right)^2}\) (b).

Theo Viet thì \((b) \Leftrightarrow 4 = {(m + 2)^2} \Leftrightarrow m = - 4\) (loại) và \(m = 0\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = 0\) là giá trị duy nhất cần tìm.

2. Điều kiện xác định: \({x^2} - y + 3 \ge 0\) (*).

Ta có \(2{x^2} + {y^2} + 3xy - 3x - 9 = 0\,\, \Leftrightarrow \left( {x + y - 3} \right)\left( {2x + y + 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y - 3 = 0\\2x + y + 3 = 0\end{array} \right..\)

Với \(y + x - 3 = 0 \Leftrightarrow y = - x + 3,\) thay vào phương trình \(\sqrt {{x^2} - y + 3} = 2x + y\) ta được

\(\sqrt {{x^2} + x} = x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\{x^2} + x = {\left( {x + 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\x = - \dfrac{9}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \dfrac{9}{5} \Rightarrow y = \dfrac{{24}}{5}.\)

Với \(2x + y + 3 = 0 \Leftrightarrow 2x + y = - 3,\) thay vào phương trình \(\sqrt {{x^2} - y + 3} = 2x + y\) ta được \(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = - 3,\) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{9}{5}\\y = \dfrac{{24}}{5}\end{array} \right..\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link