Cho tam giác tù \(ABC\) có \(\angle {ABC} > {90^0}\) nội tiếp đường tròn \((O).\) Tiếp tuyến tại

Câu hỏi số 680755:

Vận dụng cao

Cho tam giác tù \(ABC\) có \(\angle {ABC} > {90^0}\) nội tiếp đường tròn \((O).\) Tiếp tuyến tại \(C\) của \((O)\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(S.\) Lấy điểm \(P\) thuộc miền trong tam giác \(OAC\) sao cho \(SC = SP.\) Đường thẳng \(SP\) cắt \((O)\) tại hai điểm \(E,\;F\;(E\) ở giữa \(S\) và \(F).\) Các đường thẳng \(AP,\;BP\) cắt lại \((O)\) lần lượt tại \(K,\;L.\) Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(ACS\) đồng dạng với tam giác \(CBS;\)

b) \(\angle {APS} = \angle {PBS};\)

c) Tứ giác \(EKLF\) là hình thang cân.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680755

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle {CAS} = \dfrac{1}{2}\)sđ\(\overparen{CEB}\) (a).

Mặt khác \(\angle {BCS} = \dfrac{1}{2}\)sđ\(\overparen{CEB}\) (b).

Từ (a) và (b) suy ra \(\angle {BCS} = \angle {CAS}\) (1).

Từ (1) và \(\angle {ASC} = \angle {BSC}\) suy ra hai tam giác \(ACS\) và \(CBS\) đồng dạng.

b) Từ a) suy ra \(\dfrac{{CS}}{{BS}} = \dfrac{{AS}}{{CS}} \Rightarrow S{C^2} = SB.SA\) (c).

Vì \(SC = SP\) nên \((c) \Rightarrow S{P^2} = SB.SA \Rightarrow \dfrac{{SP}}{{SB}} = \dfrac{{SA}}{{SP}}\) (d).

Từ (d) và \(\angle {PSA} = \angle {BSP}\) suy ra \(\Delta PSA\) ~ \(\Delta BSP\)

Do đó \(\angle {APS} = \angle {PBS}.\)

c) Ta có \(\angle {BPS} = \dfrac{1}{2}\)(sđ\(\overparen{BmE}\) + sđ\(\overparen{LnF}\)) và \(\angle {PAS} = \dfrac{1}{2}\)(sđ\(\overparen{BmE}\) + sđ\(\overparen{ECK}\)) (e).

Vì \(\Delta PSA\) ~ \(\Delta BSP\) nên \(\angle {BPS} = \angle {PAS}.\)

Kết hợp với (e) suy ra sđ\(\overparen{LnF}\) = sđ\(\overparen{ECK}\) (f).

Từ (f) suy ra

\(\angle {LFE} + \angle {FLK} = \dfrac{1}{2}\)sđ\(\overparen{LKE}\) \( + \,\,\dfrac{1}{2}\)sđ\(\overparen{FAK}\) = \(\dfrac{1}{2}\)( sđ\(\overparen{LnF}\) + sđ\(\overparen{LtK}\)) \( + \,\,\dfrac{1}{2}\)sđ\(\overparen{FAK}\)\( = {180^0} \Rightarrow LK//EF.\)

Do đó \(EKLF\) là hình thang. Hơn nữa sđ\(\overparen{LnF}\) = sđ\(\overparen{ECK}\) \( \Rightarrow FL = KE \Rightarrow EKLF\) là hình thang cân.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link