Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BA\), trên tia \(BA\)

Câu hỏi số 681958:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BA\), trên tia \(BA\) lấy điểm \(F\) sao cho \(BF = BC\). Kẻ tia \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC(D\) thuộc \(AC\)). Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ABD = \Delta EBD\) từ đó suy ra \(AD = ED\).
b) \(BD\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AE\) và \(AD < DC\).
c) Ba điểm \(E,D,F\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:681958

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\) có:
\(BA = BE\) (giả thiết);
\(\angle {ABD} = \angle {EBD}\) (do \(BD\) là tia phân giác của góc \(ABC\));
\(BD\) là cạnh chung.
Do đó \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (c.g.c)
Suy ra \(AD = ED\) (hai cạnh tương ứng).

b) Do \(BA = BE\) nên \(B\) nằm trên đường trung trực của \(AE\).

Do \(AD = ED\) nên \(D\) nằm trên đường trung trực của \(AE\).
Suy ra \(BD\) là đường trung trực của \(AE\).

Do \(\Delta ABD = \Delta EBD\) nên \(\angle {BED} = \angle {BAD} = {90^ \circ }\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta DCE\) vuông tại \(E\) có \(DC\) là cạnh huyền nên \(DC\) là cạnh lớn nhất.
Do đó \(DC > DE\).
Mà \(AD = DE\) nên \(AD < DC\).

c) Tam giác \(BAE\) có \(BA = BE\) nên cân tại \(B\).

Do đó \(\angle {BAE} = \angle {BEA}\)
Mà \(\angle {ABE} + \angle {BAE} + \angle {BEA} = {180^ \circ }\)
Suy ra \(\angle {BAE} = \angle {BEA} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \angle {ABE}}}{2}\left( 1 \right)\)
Tương tự với tam giác \(BFC\) ta cũng có: \(\angle {BFC} = \angle {BCF} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \angle {FBC}}}{2}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle {BAE} = \angle {BFC}\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(AE//FC\).
Lại có \(AE \bot BD\) (do \(BD\) là đường trung trực của \(AE\))
Do đó \(BD \bot FC\).

Xét \(\Delta BFC\) có \(BD \bot FC,CA \bot BF,BD\) cắt \(CA\) tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của \(\Delta BFC\).
Suy ra \(FD \bot BC\).
Mà \(DE \bot BC\) (do \(\angle {BED} = {90^ \circ }\))
Do đó ba điểm \(F,D,E\) thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link