Chứng minh rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) thì \(A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1\) không là số

Câu hỏi số 682035:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) thì \(A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1\) không là số chính phương.

Giải chi tiết

Ta có: \(A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1 = {n^4} + 2{n^3} + {n^2} + {n^2} + 2n + 1 = {\left( {{n^2} + n} \right)^2} + {\left( {n + 1} \right)^2}\)

Lại có: \({\left( {{n^2} + n} \right)^2} + {\left( {n + 1} \right)^2} > {\left( {{n^2} + n} \right)^2},\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\)

\( \Rightarrow A > {\left( {{n^2} + n} \right)^2} & \left( 1 \right)\)

Mặt khác: \({\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2} = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + {n^2} + 2n + 1 = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1 + {n^2} = A + {n^2} > A,\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \({\left( {{n^2} + n} \right)^2} < A < {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2}\)

Vì \({\left( {{n^2} + n} \right)^2},\,\,{\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2}\) là hai số chính phương liên tiếp nên \(A\) không là số chính phương

Vậy \(A = {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + 2n + 1\) không là số chính phương.

Xem lời giải

Câu hỏi:682035

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.