Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Tìm số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất sao cho các số \(n + 1,\,\,2n + 1,\,\,5n + 1\) đều là các số chính phương.
Câu 682036: Tìm số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất sao cho các số \(n + 1,\,\,2n + 1,\,\,5n + 1\) đều là các số chính phương.
Quảng cáo
-
Giải chi tiết:
Nếu \(n = 3k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) thì \(n + 1 = 3k + 2 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\) (vô lí) vì \(n + 1\) là số chính phương
Nếu \(n = 3k + 2\) thì \(2n + 1 = 6k + 5 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\) (vô lí) vì \(2n + 1\) là số chính phương
Do đó \(n \vdots 3\,\,\left( 1 \right)\)
Vì \(2n + 1\) là số chính phương lẻ nên \(2n + 1 \equiv 1\,\,\left( {\bmod \,\,8} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2n \vdots 8\\ \Rightarrow n \vdots 4\end{array}\)
\( \Rightarrow n + 1\) lẻ
Vì \(n + 1\) là số chính phương lẻ nên \(n + 1 \equiv 1\left( {\bmod 8} \right) \Rightarrow n \vdots 8\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1), (2) và \(\left( {3,8} \right) = 1 \Rightarrow n \vdots 24\)
Với \(n = 24 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}n + 1 = 25 = {5^2}\\2n + 1 = 49 = {7^2}\\5n + 1 = 121 = {11^2}\end{array} \right.\)
Vậy \(n = 24\) là giá trị \(n\) nhỏ nhất thỏa mãn.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
