Cho \(n \in \mathbb{N}*,\,\,n > 1\) sao cho \(\dfrac{{{n^2} - 1}}{3}\) là tích của hai số tự nhiên liên
Cho \(n \in \mathbb{N}*,\,\,n > 1\) sao cho \(\dfrac{{{n^2} - 1}}{3}\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng \(n\) là tổng của hai số chính phương liên tiếp.
Giả sử ta có \(\dfrac{{{n^2} - 1}}{3} = a\left( {a + 1} \right),\,\,a \in \mathbb{N}*\)
Khi đó \({n^2} - 1 = 3a\left( {a + 1} \right) \Rightarrow {n^2} - 1 = 3{a^2} + 3a \Rightarrow {n^2} = 3{a^2} + 3a + 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4{n^2} = 12{a^2} + 12a + 4\\ \Rightarrow 4{n^2} - 1 = 12{a^2} + 12a + 3 = 3{\left( {2a + 1} \right)^2}\end{array}\)
Vì \(2n + 1,\,\,2n - 1\) là hai số lẻ liên tiếp nên \(\left( {2n + 1,2n - 1} \right) = 1\)
Do đó \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = 3{p^2}\\2n + 1 = {q^2}\end{array} \right.\,\,\left( I \right)\\\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = {p^2}\\2n + 1 = 3{q^2}\end{array} \right.\,\,\left( {II} \right)\end{array} \right.\), với \(p,\,\,q \in \mathbb{N}*\)
Xét \(\left( I \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = 3{p^2}\\2n + 1 = {q^2}\end{array} \right. \Rightarrow {q^2} = 3{p^2} + 2\) (1)
Vì \(3{p^2} + 2 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {q^2} \equiv {\rm{2}}\,\,\left( {\bmod 3} \right)\) (vô lí vì \({q^2}\) là số chính phương)
Do đó (1) vô nghiệm
Xét \(\left( {II} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = {p^2}\\2n + 1 = 3{q^2}\end{array} \right.\)
Vì \(2n - 1\) lẻ nên \(p\) lẻ hay \(p = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)
Do đó \(2n - 1 = {\left( {2k + 1} \right)^2} \Rightarrow 2n = {\left( {2k + 1} \right)^2} + 1 = 4{k^2} + 4k + 2 \Rightarrow n = 2{k^2} + 2k + 1 = {k^2} + {\left( {k + 1} \right)^2}\) (đpcm)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com