Cho \(n \in \mathbb{N}*,\,\,n > 1\) sao cho \(\dfrac{{{n^2} - 1}}{3}\) là tích của hai số tự nhiên liên

Câu hỏi số 682034:

Vận dụng

Cho \(n \in \mathbb{N}*,\,\,n > 1\) sao cho \(\dfrac{{{n^2} - 1}}{3}\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng \(n\) là tổng của hai số chính phương liên tiếp.

Câu trả lời của bạn

Giải chi tiết

Giả sử ta có \(\dfrac{{{n^2} - 1}}{3} = a\left( {a + 1} \right),\,\,a \in \mathbb{N}*\)

Khi đó \({n^2} - 1 = 3a\left( {a + 1} \right) \Rightarrow {n^2} - 1 = 3{a^2} + 3a \Rightarrow {n^2} = 3{a^2} + 3a + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4{n^2} = 12{a^2} + 12a + 4\\ \Rightarrow 4{n^2} - 1 = 12{a^2} + 12a + 3 = 3{\left( {2a + 1} \right)^2}\end{array}\)

Vì \(2n + 1,\,\,2n - 1\) là hai số lẻ liên tiếp nên \(\left( {2n + 1,2n - 1} \right) = 1\)

Do đó \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = 3{p^2}\\2n + 1 = {q^2}\end{array} \right.\,\,\left( I \right)\\\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = {p^2}\\2n + 1 = 3{q^2}\end{array} \right.\,\,\left( {II} \right)\end{array} \right.\), với \(p,\,\,q \in \mathbb{N}*\)

Xét \(\left( I \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = 3{p^2}\\2n + 1 = {q^2}\end{array} \right. \Rightarrow {q^2} = 3{p^2} + 2\) (1)

Vì \(3{p^2} + 2 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {q^2} \equiv {\rm{2}}\,\,\left( {\bmod 3} \right)\) (vô lí vì \({q^2}\) là số chính phương)

Do đó (1) vô nghiệm

Xét \(\left( {II} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = {p^2}\\2n + 1 = 3{q^2}\end{array} \right.\)

Vì \(2n - 1\) lẻ nên \(p\) lẻ hay \(p = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

Do đó \(2n - 1 = {\left( {2k + 1} \right)^2} \Rightarrow 2n = {\left( {2k + 1} \right)^2} + 1 = 4{k^2} + 4k + 2 \Rightarrow n = 2{k^2} + 2k + 1 = {k^2} + {\left( {k + 1} \right)^2}\) (đpcm)

Xem lời giải

Câu hỏi:682034

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.