Cho \(n \in \mathbb{N}*,\,\,n > 1\) sao cho \(\dfrac{{{n^2} - 1}}{3}\) là tích của hai số tự nhiên liên

Câu hỏi số 682034:

Vận dụng

Cho \(n \in \mathbb{N}*,\,\,n > 1\) sao cho \(\dfrac{{{n^2} - 1}}{3}\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng \(n\) là tổng của hai số chính phương liên tiếp.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:682034

Giải chi tiết

Giả sử ta có \(\dfrac{{{n^2} - 1}}{3} = a\left( {a + 1} \right),\,\,a \in \mathbb{N}*\)

Khi đó \({n^2} - 1 = 3a\left( {a + 1} \right) \Rightarrow {n^2} - 1 = 3{a^2} + 3a \Rightarrow {n^2} = 3{a^2} + 3a + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4{n^2} = 12{a^2} + 12a + 4\\ \Rightarrow 4{n^2} - 1 = 12{a^2} + 12a + 3 = 3{\left( {2a + 1} \right)^2}\end{array}\)

Vì \(2n + 1,\,\,2n - 1\) là hai số lẻ liên tiếp nên \(\left( {2n + 1,2n - 1} \right) = 1\)

Do đó \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = 3{p^2}\\2n + 1 = {q^2}\end{array} \right.\,\,\left( I \right)\\\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = {p^2}\\2n + 1 = 3{q^2}\end{array} \right.\,\,\left( {II} \right)\end{array} \right.\), với \(p,\,\,q \in \mathbb{N}*\)

Xét \(\left( I \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = 3{p^2}\\2n + 1 = {q^2}\end{array} \right. \Rightarrow {q^2} = 3{p^2} + 2\) (1)

Vì \(3{p^2} + 2 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right) \Rightarrow {q^2} \equiv {\rm{2}}\,\,\left( {\bmod 3} \right)\) (vô lí vì \({q^2}\) là số chính phương)

Do đó (1) vô nghiệm

Xét \(\left( {II} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}2n - 1 = {p^2}\\2n + 1 = 3{q^2}\end{array} \right.\)

Vì \(2n - 1\) lẻ nên \(p\) lẻ hay \(p = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

Do đó \(2n - 1 = {\left( {2k + 1} \right)^2} \Rightarrow 2n = {\left( {2k + 1} \right)^2} + 1 = 4{k^2} + 4k + 2 \Rightarrow n = 2{k^2} + 2k + 1 = {k^2} + {\left( {k + 1} \right)^2}\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link