Cho các số nguyên \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} =

Câu hỏi số 682037:

Vận dụng

Cho các số nguyên \(a,\,\,b,\,\,c \ne 0\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{{abc}} \Rightarrow ab + bc + ca = 1\). Chứng minh rằng \(\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right)\) là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:682037

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{{abc}} \Rightarrow ab + bc + ca = 1\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}1 + {a^2} = ab + bc + ca + {a^2} = a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\\1 + {b^2} = ab + bc + ca + {b^2} = b\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\\1 + {c^2} = ab + bc + ca + {c^2} = b\left( {a + c} \right) + c\left( {a + c} \right) = \left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)\end{array} \right.\)

Do đó \(\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right) = {\left( {a + b} \right)^2}{\left( {b + c} \right)^2}{\left( {c + a} \right)^2} = {\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)} \right]^2}\)

Vì \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \in \mathbb{Z}\)

Vậy \(\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)\left( {1 + {c^2}} \right)\) là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link