Cho các số nguyên dương \(a,\,\,b,\,\,c\) sao cho \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c}\). Chứng minh

Câu hỏi số 682045:

Vận dụng

Cho các số nguyên dương \(a,\,\,b,\,\,c\) sao cho \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c}\). Chứng minh rằng nếu \(c > 1\) thì \(a + c,\,\,b + c\) không thể đồng thời là số nguyên tố.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:682045

Giải chi tiết

Ta có:

Giả sử \(a + c,\,\,b + c\) đồng thời là số nguyên tố

Khi đó

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c} \Rightarrow \dfrac{{a + b}}{{ab}} = \dfrac{1}{c} \Rightarrow c\left( {a + b} \right) = ab\\ \Rightarrow ca + cb = 2ab - ab\\ \Rightarrow a\left( {b + c} \right) = b\left( {2a - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow a\left( {b + c} \right) \vdots b\,\,\left( 1 \right)\)

Mà \(b + c\) là số nguyên tố và \(b < b + c\) nên \(\left( {b,b + c} \right) = 1\)

Từ (1) suy ra \(a \vdots b\)

Chứng minh tương tự ta được \(b \vdots a\)

Vậy \(a = b\)

Khi đó \(a = b = 2c\)

\( \Rightarrow a + c = b + c = 3c\) không là số nguyên tố với \(c > 1\)

Mâu thuẫn với điều giả sử

Vậy \(a + c,\,\,b + c\) không đồng thời là số nguyên tố.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link