Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Giả sử \(p\) là số nguyên tố lẻ và \(m = \dfrac{{{9^p} - 1}}{8}\). Chứng minh rằng \(m\) là hợp
Giả sử \(p\) là số nguyên tố lẻ và \(m = \dfrac{{{9^p} - 1}}{8}\). Chứng minh rằng \(m\) là hợp số lẻ không chia hết cho 3 và \({3^{m - 1}} \equiv 1\,\,\left( {\bmod m} \right)\)
Ta có: \(m = \dfrac{{{9^p} - 1}}{8} = \dfrac{{{3^p} - 1}}{2}.\dfrac{{{3^p} + 1}}{4} = ab\) với \(a = \dfrac{{{3^p} - 1}}{2},\,\,b = \dfrac{{{3^p} + 1}}{4}\)
Vì \(a,\,\,b\) là các số nguyên lớn hơn 1 nên \(m\) là hợp số
Ta có: \(m = \dfrac{{{9^p} - 1}}{8} = {9^{p - 1}} + {9^{p - 2}} + \ldots + 9 + 1\) và \(p\) lẻ nên \(m\) lẻ
Hơn nữa \(m \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\)
Theo định lí Fermat nhỏ ta có \({9^p} - 9 \vdots p\)
Mà \(\left( {p,8} \right) = 1 \Rightarrow {9^p} - 9 \vdots 8p\)
Khi đó \(m - 1 = \dfrac{{{9^p} - 9}}{8} \vdots p\)
Vì \(m - 1 \vdots 2 \Rightarrow m - 1 \vdots 2p\)
Khi đó \({3^{m - 1}} - 1 \vdots {3^{2p}} - 1 \vdots \dfrac{{{9^p} - 1}}{8} = m\)
Vậy \({3^{m - 1}} \equiv 1\left( {\bmod m} \right)\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
