Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán 8

Giả sử \(p\) là số nguyên tố lẻ và \(m = \dfrac{{{9^p} - 1}}{8}\). Chứng minh rằng \(m\) là hợp

Câu hỏi số 682048:
Vận dụng

Giả sử \(p\) là số nguyên tố lẻ và \(m = \dfrac{{{9^p} - 1}}{8}\). Chứng minh rằng \(m\) là hợp số lẻ không chia hết cho 3 và \({3^{m - 1}} \equiv 1\,\,\left( {\bmod m} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:682048
Giải chi tiết

Ta có: \(m = \dfrac{{{9^p} - 1}}{8} = \dfrac{{{3^p} - 1}}{2}.\dfrac{{{3^p} + 1}}{4} = ab\) với \(a = \dfrac{{{3^p} - 1}}{2},\,\,b = \dfrac{{{3^p} + 1}}{4}\)

Vì \(a,\,\,b\) là các số nguyên lớn hơn 1 nên \(m\) là hợp số

Ta có: \(m = \dfrac{{{9^p} - 1}}{8} = {9^{p - 1}} + {9^{p - 2}} +  \ldots  + 9 + 1\) và \(p\) lẻ nên \(m\) lẻ

Hơn nữa \(m \equiv 1\left( {\bmod 3} \right)\)

Theo định lí Fermat nhỏ ta có \({9^p} - 9 \vdots p\)

Mà \(\left( {p,8} \right) = 1 \Rightarrow {9^p} - 9 \vdots 8p\)

Khi đó \(m - 1 = \dfrac{{{9^p} - 9}}{8} \vdots p\)

Vì \(m - 1 \vdots 2 \Rightarrow m - 1 \vdots 2p\)

Khi đó \({3^{m - 1}} - 1 \vdots {3^{2p}} - 1 \vdots \dfrac{{{9^p} - 1}}{8} = m\)

Vậy \({3^{m - 1}} \equiv 1\left( {\bmod m} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn