Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) thỏa mãn \(f(0)

Câu hỏi số 682292:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) thỏa mãn \(f(0) = 1\) và mọi \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\) \({\cos ^2}xf'(x) = \sin 2xf(x) + \cos x + 2\). Biết \(\int_{\dfrac{{ - \pi }}{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} f (x)dx = m\sqrt n \) với \(m,n \in {\mathbb{N}^*},m > 1\). Giá trị của biều thức \(T = m + n\) bằng

A. 9 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 5 .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:682292

Phương pháp giải

Từ \({\cos ^2}xf'(x) = \sin 2xf(x) + \cos x + 2\) tìm hàm f(x) và tính nguyên hàm

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\cos ^2}xf'(x) = \sin 2xf(x) + \cos x + 2\\ \Leftrightarrow - \sin 2xf(x) + {\cos ^2}xf'(x) = \cos x + 2\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\cos }^2}x.f\left( x \right)} \right)^\prime } = \cos x + 2\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}x.f\left( x \right) = \int {\left( {\cos x + 2} \right)dx} \\ \Leftrightarrow {\cos ^2}x.f\left( x \right) = \sin x + 2x + c\end{array}\)

Do \(f(0) = 1\) nên \(1.1 = 0 + 2.0 + c \Rightarrow c = 1\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{\sin x + 2x + 1}}{{{{\cos }^2}x}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int_{\dfrac{{ - \pi }}{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} f (x)dx = \int_{\dfrac{{ - \pi }}{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{\sin x + 2x + 1}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \int_{\dfrac{{ - \pi }}{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} dx + \int_{\dfrac{{ - \pi }}{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{2x + 1}}{{{{\cos }^2}x}}} dx\\ = \int_{\dfrac{{ - \pi }}{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}x}}} d\left( {\cos x} \right) + \left. {\left( {2x + 1} \right)\tan x} \right|_{\dfrac{{ - \pi }}{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} - 2\int_{\dfrac{{ - \pi }}{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\tan x} dx\\ = \left. {\dfrac{1}{{\cos x}}} \right|_{\dfrac{{ - \pi }}{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} + \left. {\left( {2x + 1} \right)\tan x} \right|_{\dfrac{{ - \pi }}{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} + \left. {2\ln \left| {\cos x} \right|} \right|_{\dfrac{{ - \pi }}{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} = 2\sqrt 3 \end{array}\)

Suy ra \(m = 2,n = 3 \Rightarrow m + n = 5\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.