Cho phương trình \({\log _3}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\). Hỏi có bao

Câu hỏi số 682294:

Vận dụng

Cho phương trình \({\log _3}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\). Hỏi có bao nhiêu cặp số \((x;y)\) với \(0 < x < 2023\) yà \(y \in \mathbb{N}\) thỏa mãn phương trình đã cho?

A. 5 .

B. 6 .

C. 4 .

D. 7 .

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Dùng hàm đặc trưng

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow 1 + {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + {x^2} - 2x + 2 = {3^{{y^2}}} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + {3^{{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}} = {y^2} + {3^{{y^2}}}\\f\left( t \right) = t + {3^t},t > 0 \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 + {3^t}.\ln 3 > 0\end{array}\)

\( \Rightarrow {y^2} = {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\)

Với \(0 < x < 2023\) thì \(1 \le {x^2} - 2x + 2 < 4088485\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}1 \le {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) < {\log _3}4088485\\ \Rightarrow 0 \le {y^2} < 13,85\\ \Leftrightarrow y \in \left\{ {0,1,2,3} \right\}\end{array}\)

Vậy có 4 cặp (x,y) thỏa mãn.

Xem lời giải

Câu hỏi:682294

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.