Cho phương trình \({\log _3}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\). Hỏi có bao
Cho phương trình \({\log _3}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\). Hỏi có bao nhiêu cặp số \((x;y)\) với \(0 < x < 2023\) yà \(y \in \mathbb{N}\) thỏa mãn phương trình đã cho?
Đáp án đúng là: C
Dùng hàm đặc trưng
\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3{x^2} - 6x + 6} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow 1 + {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = {3^{{y^2}}} + {y^2} - {x^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + {x^2} - 2x + 2 = {3^{{y^2}}} + {y^2}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + {3^{{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}} = {y^2} + {3^{{y^2}}}\\f\left( t \right) = t + {3^t},t > 0 \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 + {3^t}.\ln 3 > 0\end{array}\)
\( \Rightarrow {y^2} = {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\)
Với \(0 < x < 2023\) thì \(1 \le {x^2} - 2x + 2 < 4088485\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _3}1 \le {\log _3}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) < {\log _3}4088485\\ \Rightarrow 0 \le {y^2} < 13,85\\ \Leftrightarrow y \in \left\{ {0,1,2,3} \right\}\end{array}\)
Vậy có 4 cặp (x,y) thỏa mãn.
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com