Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B, \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\), \(AB = a,BC = 2a\).

Câu hỏi số 682295:

Vận dụng

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B, \(\angle SAB = \angle SCB = {90^0}\), \(AB = a,BC = 2a\). Biết rằng góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60⁰. Thể tích khối chóp SABC bằng:

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{3}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).

C. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt {15} }}{3}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}\).

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Dùng hàm đặc trưng

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \((ABC)\)

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot SA}\\{AB \bot SH(SH \bot (ABC))}\end{array} \Rightarrow AB \bot (SAH) \Rightarrow AB \bot AH} \right.\)

\( \Rightarrow ABCH\) là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

Vì \(SH \bot (ABC)\) nên HB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC)

\( \Rightarrow \left( {SB;(ABC)} \right) = \angle \left( {SB;HB} \right) = \angle SBH = {60^0}\)

Áp dụng định lý Pitago ta có: \({\rm{AC}} = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 5 \)

Lại có: ABCH là hình vuông nên \(BH = AC = a\sqrt 5 \)

Xét tam giác vuông SHB có: \(SH = SB.\tan {30^^\circ } = a\sqrt {15} \)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt {15} .a.2a = \dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:682295

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.