Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(0;0; - 2)\) và \(B(3;4;1)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = 25\) và \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 14 = 0\). Lấy M, N là hai điểm thuộc \((P)\) tùy ý sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) là

Câu 682300: Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(0;0; - 2)\) và \(B(3;4;1)\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = 25\) và \(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 14 = 0\). Lấy M, N là hai điểm thuộc \((P)\) tùy ý sao cho \(MN = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(AM + BN\) là

A. 17.

B. 5 .

C. \(\sqrt {17} \).

D. \(\sqrt 5 \).

Câu hỏi : 682300

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giao tuyến (P) của hai mặt cầu là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 3)^2} = 25\\{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 14 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 6z = 0 \Leftrightarrow z = 0\)
\((P):z = 0\) tức là \((P) \equiv (Oxy)\).
Dễ thấy A, B nằm khác phía đối với \((P)\), hình chiếu của \(A\) trên \((P)\) là \(O\), hình chiếu cùa \(B\) trên \((P)\) là \(H(3;4;0)\).
Lấy \(A'\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \).
Khi đó \(AM + BN = A'N + BN \ge A'B\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương \(\overrightarrow {OH} \).
Lấy \(\overrightarrow {MN} = \dfrac{{\overrightarrow {OH} }}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|}} = \left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5};0} \right)\).
Khi đó vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) nên \(A'\left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5};0} \right)\).
Do đó \(AM + BN = A'N + BN \ge A'B = 5\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.