Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. a) Biết \(AB = 3\;{\rm{cm}},AC = 4\;{\rm{cm}}\), hãy tính

Câu hỏi số 682654:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.

a) Biết \(AB = 3\;{\rm{cm}},AC = 4\;{\rm{cm}}\), hãy tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH.

b) Gọi M, N lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến AB, AC. Chứng minh rằng \(\Delta HMN\backsim\Delta ABC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:682654

Phương pháp giải

a) + Sử dụng kiến thức định lí Pythagore để tìm BC: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

+ Sử dụng kiến thức các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để chứng minh: Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

b) Sử dụng kiến thức các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để chứng minh: Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Giải chi tiết

a) Tam giác ABC vuông tại A nên \(\angle {BAC} = {90^\circ }\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại \(A\) ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\) nên \(BC = 5\;{\rm{cm}}\)

Vì AH là đường cao trong tam giác \({\rm{ABC}}\) nên \(AH \bot BC\).

Do đó, \(\angle {AHB} = \angle {AHC} = {90^\circ }\)

Xét tam giác ABC và tam giác HAC có:

\(\angle {BAC} = \angle {AHC} = {90^\circ },\hat C\) chung

Suy ra \(\Delta ABC\backsim\Delta HAC(g - g)\)

Suy ra: \(\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) nên \(CH = \frac{{C{A^2}}}{{CB}} = \frac{{{4^2}}}{5} = \frac{{16}}{5}(\;{\rm{cm}})\)

Do đó, \(BH = BC - CH = 5 - \frac{{16}}{5} = \frac{9}{5}(\;{\rm{cm}})\)

Vì \(\Delta ABC\backsim\Delta HAC({\rm{cmt}})\) nên \(\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AC}}\)

Do đó, \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{3.4}}{5} = \frac{{12}}{5}(\;{\rm{cm}})\)

b) Vì \(HM \bot AB \Rightarrow \angle {HMA} = {90^\circ },HN \bot AC \Rightarrow \angle {HNA} = {90^\circ }\)

Tứ giác ANHM có: \(\angle {HMA} = \angle {NAM} = \angle {HNA} = {90^\circ }\)

nên tứ giác ANHM là hình chữ nhật. Do đó, \(\angle {NHM} = {90^\circ }\)

Gọi D là giao điểm của hai đường chéo trong hình chữ nhật NHMA nên \(DH = DM\).

Do đó, tam giác DHM cân tại D.

Suy ra, \(\angle {DHM} = \angle {DMH}\)

Lại có: \(\angle {DHM} = \hat B\left( { = {{90}^\circ } - \angle {MHB}} \right)\) nên \(\angle {DMH} = \hat B\)

Suy ra \(\Delta HMN\backsim\Delta ABC(\;{\rm{g}} - {\rm{g}})\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link