Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1; - 2;2} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2}

Câu hỏi số 683264:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1; - 2;2} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\). Biết \(B,C,D\) là ba điểm phân biệt trên \(\left( S \right)\) sao cho các tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại mỗi điểm đó đều đi qua \(A\). Hỏi mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua điểm nào dưới đây?

A. \(M\left( {1;1;1} \right)\)

B. \(P\left( { - 3;1;1} \right)\)

C. \(N\left( { - 1;1;1} \right)\)

D. \(Q\left( {1;1; - 1} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Giải chi tiết

Gọi H là tâm đường tròn qua 3 điểm B, C, D

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) có tâm \(I\left( {0,0,0} \right),R = 1\)

\( \Rightarrow AO = 3,AB = \sqrt {A{O^2} - {R^2}} = 2\sqrt 2 \)

Ta thấy \(OH = \dfrac{{O{B^2}}}{{AO}} = \dfrac{1}{3},AH = \dfrac{8}{3}\)

Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) nhận \(\overrightarrow {OA} = \left( {1, - 2,2} \right)\) làm vecto pháp tuyến nên có dạng

\(x - 2y + 2z + m = 0\)

Do \(d\left( {O,\left( {BCD} \right)} \right) = \left| {\dfrac{m}{3}} \right| = \dfrac{1}{3} \Rightarrow m = \pm 1\)

Với \(m = 1 \Rightarrow \left( {BCD} \right):x - 2y + 2z + 1 = 0\)

\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{{10}}{3} \ne \dfrac{8}{3}\) nên suy ra \(m = - 1\)

Vậy phương trình phẳng có dạng \(x - 2y + 2z - 1 = 0\) qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\)

Xem lời giải

Câu hỏi:683264

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.