Xét các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| {z - w} \right| = 2\left| z \right| = 2\) và số phức \(\bar z

Câu hỏi số 683267:

Vận dụng

Xét các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| {z - w} \right| = 2\left| z \right| = 2\) và số phức \(\bar z \cdot w\) có phần thực bằng 1. Giá trị lớn nhất của \(P = \left| {z + w - 1 + 2i} \right|\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {4;5} \right)\)

B. \(\left( {3;4} \right)\)

C. \(\left( {5;6} \right)\)

D. \(\left( {6;7} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:683267

Phương pháp giải

Gọi \(z = a + bi\), \(w = x + yi\). Tính \({a^2} + {b^2},{x^2} + {y^2},ax + by\) từ đó tìm được \(P = \left| {z + w - 1 + 2i} \right|\)

Giải chi tiết

Gọi \(z = a + bi\), \(w = x + yi\)

Do \(\left| z \right| = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1\)

Do \(\overline z w = \left( {a - bi} \right)\left( {x + yi} \right)\) có phần thực bằng 1 nên \(ax + by = 1\)

Do \(\left| {z - w} \right| = \left| {a + bi - x - yi} \right| = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a - x} \right)^2} + {\left( {b - y} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {x^2} + {y^2} - 2\left( {ax + by} \right) = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 5\end{array}\)

\(\begin{array}{l}P = \left| {z + w - 1 + 2i} \right| = \left| {a + bi + x + yi - 1 + 2i} \right|\\{P^2} = {\left( {a + x - 1} \right)^2} + {\left( {b + y + 2} \right)^2}\\ = {a^2} + {b^2} + {x^2} + {y^2} + 1 + 4 + 2\left( {ax + by} \right) - 2x - 2a + 4b + 4y\\ = 1 + 5 + 2 + 1 + 4 - 2\left( {x + a} \right) + 4\left( {b + y} \right)\\ = 13 + 4\left( {b + y} \right) + 2\left( { - x - a} \right)\\ \le 13 + \sqrt {{4^2} + {2^2}.} \sqrt {{{\left( {b + y} \right)}^2} + {{\left( {x + a} \right)}^2}} \\ \le 13 + \sqrt {20} .\sqrt {1 + 5 + 2} = 13 + 4\sqrt {10} \\ \Rightarrow P \le \sqrt {13 + 4\sqrt {10} } \approx 5,06\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.