Xét các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| {z - w} \right| = 2\left| z \right| = 2\) và số phức \(\bar z \cdot w\) có phần thực bằng 1. Giá trị lớn nhất của \(P = \left| {z + w - 1 + 2i} \right|\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 683267: Xét các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| {z - w} \right| = 2\left| z \right| = 2\) và số phức \(\bar z \cdot w\) có phần thực bằng 1. Giá trị lớn nhất của \(P = \left| {z + w - 1 + 2i} \right|\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {4;5} \right)\)

B. \(\left( {3;4} \right)\)

C. \(\left( {5;6} \right)\)

D. \(\left( {6;7} \right)\)

Câu hỏi : 683267

Phương pháp giải:

Gọi \(z = a + bi\), \(w = x + yi\). Tính \({a^2} + {b^2},{x^2} + {y^2},ax + by\) từ đó tìm được \(P = \left| {z + w - 1 + 2i} \right|\)

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(z = a + bi\), \(w = x + yi\)
Do \(\left| z \right| = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1\)
Do \(\overline z w = \left( {a - bi} \right)\left( {x + yi} \right)\) có phần thực bằng 1 nên \(ax + by = 1\)
Do \(\left| {z - w} \right| = \left| {a + bi - x - yi} \right| = 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a - x} \right)^2} + {\left( {b - y} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {x^2} + {y^2} - 2\left( {ax + by} \right) = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 5\end{array}\)
\(\begin{array}{l}P = \left| {z + w - 1 + 2i} \right| = \left| {a + bi + x + yi - 1 + 2i} \right|\\{P^2} = {\left( {a + x - 1} \right)^2} + {\left( {b + y + 2} \right)^2}\\ = {a^2} + {b^2} + {x^2} + {y^2} + 1 + 4 + 2\left( {ax + by} \right) - 2x - 2a + 4b + 4y\\ = 1 + 5 + 2 + 1 + 4 - 2\left( {x + a} \right) + 4\left( {b + y} \right)\\ = 13 + 4\left( {b + y} \right) + 2\left( { - x - a} \right)\\ \le 13 + \sqrt {{4^2} + {2^2}.} \sqrt {{{\left( {b + y} \right)}^2} + {{\left( {x + a} \right)}^2}} \\ \le 13 + \sqrt {20} .\sqrt {1 + 5 + 2} = 13 + 4\sqrt {10} \\ \Rightarrow P \le \sqrt {13 + 4\sqrt {10} } \approx 5,06\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.