Cho hình thang \(ABCD\) có đáy \(CD\) gấp đôi đáy \(AB\), hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau

Câu hỏi số 683910:

Vận dụng cao

Cho hình thang \(ABCD\) có đáy \(CD\) gấp đôi đáy \(AB\), hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại điểm \({\rm{O}}\). Điểm \({\rm{M}}\) nằm trên cạnh \({\rm{CD}}\) sao cho \({\rm{CM}} = \dfrac{1}{3}{\rm{CD}}\). Gọi \({\rm{N}}\) là giao điểm của \(AC\) và \(BM\). Biết diện tích hình thang \(ABCD\) là \(45{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\), diện tích tam giác \(DON\) bằng bao nhiêu?

A. \(15\;c{m^2}\)

B. \(10\;c{m^2}\)

C. \(8\;c{m^2}\)

D. \(7\;c{m^2}\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Dựa vào các tam giác có chung chiều cao từ đó tìm được tỉ lệ diện tích các tam giác.

Giải chi tiết

\(\dfrac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{BDC}}}} = \dfrac{1}{2}\) (chiều cao bằng nhau, đáy \({\rm{AB}} = \dfrac{1}{2}\) đáy \({\rm{CD}}\) )
Mà \({{\rm{S}}_{{\rm{ABD}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{BDC}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = 45{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\)
\({{\rm{S}}_{{\rm{ABD}}}} = 45:\left( {1 + 3} \right) = 15{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\)
\({{\rm{S}}_{{\rm{BDC}}}} = 45 - 15 = 30{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\)
\(\dfrac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{BDC}}}} = \dfrac{{AH}}{{CG}}\) (chung đáy \(\left. {{\rm{BD}}} \right) \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CG}} = \dfrac{1}{2}\) hay \({\rm{CG}} = {\rm{AH}} \times 2\)
\({{\rm{S}}_{{\rm{ABD}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}}\) (chiều cao bằng nhau, chung đáy \({\rm{AB}}\) )
Mà \({{\rm{S}}_{{\rm{ABD}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{ABO}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{AOD}}}};{{\rm{S}}_{{\rm{ABC}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{ABO}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{BOC}}}}\)
\( \Rightarrow {{\rm{S}}_{{\rm{AOD}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{BOC}}}} \Rightarrow \dfrac{{AH \times OD}}{2} = \dfrac{{CG \times OB}}{2}\)
\( \Rightarrow {\rm{AH}} \times {\rm{OD}} = {\rm{AH}} \times 2 \times {\rm{OB}}\)
\( \Rightarrow {\rm{OD}} = 2{\rm{xB}}\) hay \({\rm{OB}} = \dfrac{1}{2}{\rm{xOD}}\)
\(\dfrac{{{S_{BOC}}}}{{{S_{DOC}}}} = \dfrac{1}{2}\) (chung chiều cao, đáy \({\rm{OB}} = \dfrac{1}{2}\) đáy \({\rm{OD}}\) )
Mà \({{\rm{S}}_{{\rm{BOC}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{DOC}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{BDC}}}} = 30{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\)
\( \Rightarrow {{\rm{S}}_{{\rm{DOC}}}} = 30:\left( {1 + 2} \right) \times 2 = 20{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\)
\(\dfrac{{{S_{DBM}}}}{{{S_{BDC}}}} = \dfrac{2}{3}\) (chung chiều cao, đáy \({\rm{DM}} = \dfrac{2}{3}\) đáy \({\rm{CD}}\) )
\( \Rightarrow {{\rm{S}}_{{\rm{DBM}}}} = \dfrac{2}{3} \times 30 = 20{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2} \Rightarrow {{\rm{S}}_{{\rm{DOC}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{DBM}}}}\)
Mà \({{\rm{S}}_{{\rm{DOC}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{DOMN\;}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{MNC}}}};{{\rm{S}}_{{\rm{DBM}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{DOMN\;}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{BON}}}}\)
\( \Rightarrow {{\rm{S}}_{{\rm{MNC}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{BON}}}}\)
Lại có \(\dfrac{{{S_{MNC}}}}{{{S_{DMN}}}} = \dfrac{1}{2}\) (chung chiều cao, đáy \({\rm{CM}} = \dfrac{1}{2}\) đáy \({\rm{DM}}\) )

\({\rm{\;}}\dfrac{{{S_{BON}}}}{{{S_{DON}}}} = \dfrac{1}{2}{\rm{\;}}\) (chung chiều cao, đáy \({\rm{OB}} = \dfrac{1}{2}\) đáy OD)

\(\; \Rightarrow {{\rm{S}}_{{\rm{DMN}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{DON}}}} = {{\rm{S}}_{{\rm{MNC}}}} \times 2\)

Mà \({S_{DOC}} = {S_{DMN}} + {S_{DON}} + {S_{MNC}} = {S_{MNC}} \times 5 = 20\;c{m^2}\)

\(\; \Rightarrow {S_{MNC}} = 20:5 = 4\;c{m^2}\)

Vậy \({S_{DON}} = 4 \times 2 = 8\;c{m^2}\)

Đáp số: \(8\;c{m^2}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:683910

Tham Gia Group Dành Cho 2K14 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến các môn Toán, Tiếng Việt, Tiếng Anh lớp 5 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp con lớp 5 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.