Cho \(\Delta {\rm{ABC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\) có \({\rm{AB}} < {\rm{AC}}\). Kẻ đường phân giác

Câu hỏi số 685422:

Vận dụng

Cho \(\Delta {\rm{ABC}}\) vuông tại \({\rm{A}}\) có \({\rm{AB}} < {\rm{AC}}\). Kẻ đường phân giác \({\rm{BD}}\) của \(\angle {{\rm{ABC}}},({\rm{D}} \in {\rm{AC}})\). Kẻ \({\rm{DH}}\) vuông góc với \({\rm{BC}}\) tại \({\rm{H}}\).

a) Chứng minh \(\Delta {\rm{DAB}} = \Delta {\rm{DHB}}\).

b) Chứng minh \({\rm{AD}} < {\rm{DC}}\).

c) Gọi \({\rm{K}}\) là giao điểm của đường thẳng \({\rm{DH}}\) và đường thẳng \({\rm{AB}}\), đường thẳng \({\rm{BD}}\) cắt \({\rm{KC}}\) tại \({\rm{E}}\). Chứng minh \({\rm{BE}} \bot {\rm{KC}}\) và \(\Delta {\rm{KDC}}\) cân tại \({\rm{D}}\).

Câu trả lời của bạn

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất trong tam giác

Giải chi tiết

a) \({\rm{X}}\)ét \(\Delta DAB\) và \(\Delta DHB\) có:

Có \(\angle A = \angle H = 90^\circ ,\angle {ABD} = \angle {HBD}\) (gt)

Cạnh BD chung

Vậy \(\Delta DAB = \Delta DHB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Ta có: \(\Delta DAB = \Delta DHB\) nên \(AD = HD\) ( Hai cạnh tương ứng). (1)

Vì \(\Delta DHC\) vuông tại \({\rm{H}}\) nên \({\rm{DH}} < {\rm{DC}}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(A{\rm{D}} < {\rm{DC}}\)

c) Xét \(\Delta BKC\) có 2 đường cao KH và CA cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của tam giác BKC

Do đó \(BE \bot KC\).

Ta có \(\Delta DAB = \Delta DHB\) suy ra AB=HB

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBK\)

Có \(\angle {BAC} = \angle {BHK} = 90^\circ \),

AB=HB

\(\angle {ABH}\)chung

Suy ra \(\Delta ABC\)=\(\Delta HBK\)(g.c.g)

\( \Rightarrow \)AC=HK (1)

Ta có D là trực tâm của tam giác BKC

Suy ra \(DC = \dfrac{2}{3}AC;KD = \dfrac{2}{3}KH\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra DC=KD

\( \Rightarrow \)\(\Delta {\rm{KDC}}\) cân tại \({\rm{D}}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:685422

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.