Cho ba số \(x,y,z\)khác 0 thỏa mãn \(\dfrac{{y + z - x}}{x} = \dfrac{{z + x - y}}{y} = \dfrac{{x + y - z}}{z}\).

Câu hỏi số 685423:

Vận dụng cao

Tính giá trị của biểu thức \(P = \left( {1 + \dfrac{{\rm{x}}}{{\rm{y}}}} \right)\left( {1 + \dfrac{{\rm{y}}}{{\rm{z}}}} \right)\left( {1 + \dfrac{{\rm{z}}}{{\rm{x}}}} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:685423

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức từ đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Giải chi tiết

Ta có \(P = \left( {1 + \dfrac{x}{y}} \right)\left( {1 + \dfrac{y}{z}} \right)\left( {1 + \dfrac{z}{x}} \right) = \dfrac{{x + y}}{y} \cdot \dfrac{{y + z}}{z} \cdot \dfrac{{z + x}}{x}\)

Nếu \(x + y + z = 0\) thì \(x + y = - z;y + z = - x;z + x = - y\) thì \(P = \dfrac{{ - z}}{y} \cdot \dfrac{{ - x}}{z} \cdot \dfrac{{ - y}}{x} = - 1\)

Nếu \({\rm{x}} + {\rm{y}} + {\rm{z}} \ne 0\), áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

\(\dfrac{{y + z - x}}{x} = \dfrac{{z + x - y}}{y} = \dfrac{{x + y - z}}{z} = \dfrac{{y + z - x + z + x - y + x + y - z}}{{x + y + z}} = \dfrac{{x + y + z}}{{x + y + z}} = 1{\rm{ }}\)

Nên \({\rm{ }}y + z - x = x;z + x - y = y;x + y - z = z \Rightarrow y + z = 2x;z + x = 2y;x + y = 2z\)

Do đó \(P = \dfrac{{2z}}{y} \cdot \dfrac{{2x}}{z} \cdot \dfrac{{2y}}{x} = 8\).

Kết luận:

- Nếu \(x + y + z = 0\) thì \(P = - 1\)

- Nếu \({\rm{x}} + {\rm{y}} + {\rm{z}} \ne 0\) thì \({\rm{P}} = 8\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link