Cho bất phương trình \(m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) + x(2 - x) \le 0\). Hỏi có bao nhiêu

Câu hỏi số 686177:

Vận dụng

Cho bất phương trình \(m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) + x(2 - x) \le 0\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên \(m\) không nhỏ hơn -2024 để bất phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right]\)?

A. 2023 .

B. 2025 .

C. 2024 .

D. 2026 .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:686177

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \Rightarrow t \ge 0\)

Cô lập m tìm đưa về bài toán hàm số.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) + x(2 - x) \le 0\\ \Leftrightarrow m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + 2 \le 0\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \Rightarrow t \ge 0\)

Khi đó ta có bpt \(m\left( {t + 1} \right) - {t^2} + 2 \le 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {t + 1} \right) \le {t^2} - 2 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}\) (do \(t \ge 0\))

Để bất phương trình có nghiệm \(x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right] \Rightarrow t \in \left[ {1,4} \right]\)

\( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1,4} \right]} \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}\)

Đặt \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}} \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 2t - 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1 - \sqrt 3 \\t = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f'\left( t \right) > 0\,\,\,\forall t \in \left[ {1,4} \right]\)

\( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1,4} \right]} \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}} \Leftrightarrow m \le f\left( 1 \right) \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}\)

Mà m nguyên và \(m \ge - 2024 \Rightarrow m \in \left\{ { - 2024, - 2023,..., - 1} \right\}\)

Vậy có tất cả 2024 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.