Cho bất phương trình \(m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) + x(2 - x) \le 0\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên \(m\) không nhỏ hơn -2024 để bất phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right]\)?

Câu 686177: Cho bất phương trình \(m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) + x(2 - x) \le 0\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên \(m\) không nhỏ hơn -2024 để bất phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right]\)?

A. 2023 .

B. 2025 .

C. 2024 .

D. 2026 .

Câu hỏi : 686177

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \Rightarrow t \ge 0\)

Cô lập m tìm đưa về bài toán hàm số.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) + x(2 - x) \le 0\\ \Leftrightarrow m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + 2 \le 0\end{array}\)
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \Rightarrow t \ge 0\)
Khi đó ta có bpt \(m\left( {t + 1} \right) - {t^2} + 2 \le 0\)
\( \Leftrightarrow m\left( {t + 1} \right) \le {t^2} - 2 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}\) (do \(t \ge 0\))
Để bất phương trình có nghiệm \(x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right] \Rightarrow t \in \left[ {1,4} \right]\)
\( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1,4} \right]} \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}\)
Đặt \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}} \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 2t - 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1 - \sqrt 3 \\t = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow f'\left( t \right) > 0\,\,\,\forall t \in \left[ {1,4} \right]\)
\( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1,4} \right]} \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}} \Leftrightarrow m \le f\left( 1 \right) \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2}\)
Mà m nguyên và \(m \ge - 2024 \Rightarrow m \in \left\{ { - 2024, - 2023,..., - 1} \right\}\)
Vậy có tất cả 2024 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.