Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho bất phương trình \(m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1} \right) + x(2 - x) \le 0\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên \(m\) không nhỏ hơn -2024 để bất phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right]\)?

Câu 686177: Cho bất phương trình \(m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1} \right) + x(2 - x) \le 0\). Hỏi có bao nhiêu số nguyên \(m\) không nhỏ hơn -2024 để bất phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right]\)?

A. 2023 .

B. 2025 .

C. 2024 .

D. 2026 .

Câu hỏi : 686177

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}  \Rightarrow t \ge 0\)

Cô lập m tìm đưa về bài toán hàm số.

  • Đáp án : C
    (0) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    \(\begin{array}{l}m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1} \right) + x(2 - x) \le 0\\ \Leftrightarrow m\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + 2 \le 0\end{array}\)

    Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}  \Rightarrow t \ge 0\)

    Khi đó ta có bpt \(m\left( {t + 1} \right) - {t^2} + 2 \le 0\)

    \( \Leftrightarrow m\left( {t + 1} \right) \le {t^2} - 2 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}\) (do \(t \ge 0\))

    Để bất phương trình có nghiệm \(x \in \left[ {0;1 + \sqrt 3 } \right] \Rightarrow t \in \left[ {1,4} \right]\)

    \( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1,4} \right]} \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}\)

    Đặt \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}} \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 2t - 2}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1 - \sqrt 3 \\t =  - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)

    \( \Rightarrow f'\left( t \right) > 0\,\,\,\forall t \in \left[ {1,4} \right]\)

    \( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1,4} \right]} \dfrac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}} \Leftrightarrow m \le f\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2}\)

    Mà m nguyên và \(m \ge  - 2024 \Rightarrow m \in \left\{ { - 2024, - 2023,..., - 1} \right\}\)

    Vậy có tất cả 2024 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com