Cho các số thực \(a,b > 1\) và phương trình \({\log _a}(ax){\log _b}(bx) = 2024\) có hai nghiệm phân

Câu hỏi số 686183:

Vận dụng

Cho các số thực \(a,b > 1\) và phương trình \({\log _a}(ax){\log _b}(bx) = 2024\) có hai nghiệm phân biệt m, n. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {4{a^2} + {b^2}} \right)\left( {100{m^2}{n^2} + 1} \right)\) bằng

A. 40 .

B. 80 .

C. \(80\sqrt 2 \).

D. \(20\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: B

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _a}(ax){\log _b}(bx) = 2024(x > 0)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + {{\log }_a}x} \right)\left( {1 + {{\log }_b}x} \right) = 2024\\ \Leftrightarrow 1 + {\log _a}x.{\log _b}x + {\log _a}x + {\log _b}x = 2024\\ \Leftrightarrow {\log _a}x.{\log _b}x + {\log _a}x + {\log _b}x = 2023\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\ln x}}{{\ln a}} \cdot \dfrac{{\ln x}}{{\ln b}} + \dfrac{{\ln x}}{{\ln a}} + \dfrac{{\ln x}}{{\ln b}} = 2023\\ \Leftrightarrow {\ln ^2}x + (\ln a + \ln b)\ln x - 2023\ln a.\ln b = 0\\ \Leftrightarrow {\ln ^2}x + \ln (ab)\ln x - 2023\ln a.\ln b = 0\end{array}\)

Đặt \(t = \ln x\), phương trình trở thành \({t^2} + \ln (ab).t - 2023\ln a.\ln b = 0(*)\)

Vì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt nên \(\Delta = {\ln ^2}(ab) + 8092\ln a.\ln b > 0\).

Phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt m, n nên phương trình \((*)\) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = \ln m}\\{{t_2} = \ln n}\end{array}} \right.\).

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có \(\ln m + \ln n = - \ln (ab) \Leftrightarrow mn = \dfrac{1}{{ab}} \Leftrightarrow mnab = 1\).

Do \(a,b > 1 \Rightarrow mn > 0\).

Xét \(P = \left( {4{a^2} + {b^2}} \right)\left( {100{m^2}{n^2} + 1} \right)\) ta có

\( \Rightarrow P \ge 2\sqrt {4{a^2}.{b^2}} .2\sqrt {100{m^2}{n^2}.1} \)

\( \Rightarrow P \ge 2.2ab.20mn = abmn \ge 80\)

Dấu “=” xảy ra khi \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = b}\\{10mn = 1 = \dfrac{{10}}{{ab}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = b}\\{ab = 10}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \sqrt 5 }\\{b = 2\sqrt 5 }\end{array}} \right.} \right.} \right.{\rm{ }}\)

Vậy \({P_{\min }} = 400 \Leftrightarrow a = 5,b = 2\).

Xem lời giải

Câu hỏi:686183

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.