Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A(0;0; - 3);B(2;0; - 1);C(2; - 2; - 3)\) Một điểm M thay đổi

Câu hỏi số 686184:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A(0;0; - 3);B(2;0; - 1);C(2; - 2; - 3)\) Một điểm M thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A (A khác M). Gọi H là trực tâm tam giác MBC với \(M(a;b;c),a > 0\) thì khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \((ABC)\) có giá trị lớn nhất. Tính \(a + b + c\).

A. \(a + b + c = - 3 + \sqrt 3 \).

B. \(a + b + c = - 3 + \sqrt 2 \).

C. \(a + b + c = 5\).

D. \(a + b + c = 10\).

Đáp án đúng là: B

Giải chi tiết

Ta có \(AB = AC = BC = 2\sqrt 2 \Rightarrow \Delta ABC\) đều

Ta có \(MB = \sqrt {M{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {M{A^2} + A{C^2}} = MC\)

\( \Rightarrow \Delta MBC\) cân tại M

Gọi N, P lần lượt là trung điểm của BC và AB

\( \Rightarrow AN \bot BC,CP \bot AB\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CP \bot AB\\MA \bot CP\end{array} \right. \Rightarrow CP \bot \left( {MAB} \right) \Rightarrow CP \bot MB\) (1)

Gọi K là giao điểm của AP và AB, I là giao điểm của CH và MB \( \Rightarrow CI \bot MB\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(MN \bot \left( {CPI} \right) \Rightarrow HK \bot MB\) (3)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}AN \bot BC\\MA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {MAN} \right) \Rightarrow BC \bot HK\) (4)

Từ (3),(4) \( \Rightarrow HK \bot \left( {MBC} \right) \Rightarrow HK \bot MN\)

Kẻ \(HJ \bot AN\). Do \(BC \bot \left( {MAN} \right) \Rightarrow BC \bot HJ\)

Mà \(HJ \bot AN \Rightarrow HJ \bot AN \Rightarrow HJ \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {H,ABC} \right) = HJ\)

Kẻ \(AF \bot MN \Rightarrow AF\parallel HK\)

Ta có \(\dfrac{{MK}}{{AF}} = \dfrac{{KN}}{{AN}} = \dfrac{1}{3}\)

\(AF = \dfrac{{MA.AN}}{{\sqrt {M{A^2} + A{N^2}} }} = \dfrac{{x\sqrt 6 }}{{\sqrt {{x^2} + 6} }} \Rightarrow HK = \dfrac{{x\sqrt 6 }}{{3\sqrt {{x^2} + 6} }}\)

\( \Rightarrow HN = \dfrac{2}{{\sqrt {{x^2} + 6} }};HJ = \dfrac{{HK.HN}}{{KN}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 6}} \le \dfrac{{2x}}{{2x\sqrt 6 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = \sqrt 6 \Rightarrow M\left( {\sqrt 2 - 1,\sqrt 2 - 1, - \sqrt 2 - 2} \right)\)

\( \Rightarrow {x_0} + {y_0} + {z_0} = - 3 + \sqrt 2 \)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:686184

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.