Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\) và

Câu hỏi số 686692:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) có \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\) và \(f\left( x \right) \ge f'\left( x \right)\) với mọi \(x \ge - 1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)?

A. 6.

B. 1.

C. 3.

D. Vô số.

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Từ các giả thiết biểu diễn b và c theo a, đưa hàm số về chỉ còn 1 tham số a và biện luận.

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\)

+) \(f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\)\( \Leftrightarrow c = b\).

+) \(f\left( x \right) \ge f'\left( x \right)\) với mọi \(x \ge - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + a{x^2} + bx + c \ge 3{x^2} + 2ax + b\,\,\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow {x^3} + \left( {a - 3} \right){x^2} + \left( {b - 2a} \right)x + c - b \ge 0\,\,\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow {x^3} + \left( {a - 3} \right){x^2} + \left( {b - 2a} \right)x \ge 0\,\,\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + \left( {a - 3} \right)x + \left( {b - 2a} \right)} \right] \ge 0\,\,\forall x \ge - 1\end{array}\)

Đặt \(g\left( x \right) = x\left[ {{x^2} + \left( {a - 3} \right)x + \left( {b - 2a} \right)} \right]\).

\( \Rightarrow g\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \ge - 1\)

Vì x = 0 là một nghiệm của g(x), nên để \(g\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \ge - 1\) thì x = 0 phải là nghiệm kép của g(x).

\( \Rightarrow x = 0\) là nghiệm của \(h\left( x \right) = {x^2} + \left( {a - 3} \right)x + \left( {b - 2a} \right)\)

\( \Rightarrow b = 2a\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) thì \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} + 2ax + b \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \Delta ' = {a^2} - 3b = {a^2} - 6a \le 0 \Leftrightarrow 0 \le a \le 6\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì b = 2a nên \(g\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \ge - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + \left( {a - 3} \right)x} \right] \ge 0\,\,\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow {x^2}\left[ {x + \left( {a - 3} \right)} \right] \ge 0\,\,\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow x + \left( {a - 3} \right) \ge 0\,\,\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow a \ge 3 - x\,\,\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow a \ge 4\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow a \in \left\{ {4;5;6} \right\}\) nên có 3 giá trị a thoả mãn.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:686692

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.