Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Xét a, b dương thoả mãn \({2^{a + b + 2ab - 3}} = \dfrac{{1 - ab}}{{a + b}}\). Giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) gần với giá trị nào dưới đây

Câu 686697: Xét a, b dương thoả mãn \({2^{a + b + 2ab - 3}} = \dfrac{{1 - ab}}{{a + b}}\). Giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) gần với giá trị nào dưới đây

A. \(\dfrac{3}{2}\).

B. \(\dfrac{1}{2}\).

C. 1.

D. 2.

Câu hỏi : 686697

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xét hàm số đặc trưng.

  • Đáp án : C
    (0) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}{2^{a + b + 2ab - 3}} = \dfrac{{1 - ab}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow {2.2^{a + b + 2ab - 3}} = \dfrac{{2\left( {1 - ab} \right)}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow {2^{a + b + 2ab - 2}} = \dfrac{{2 - 2ab}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{2^{a + b}}}}{{{2^{2 - 2ab}}}} = \dfrac{{2 - 2ab}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow {2^{a + b}}.\left( {a + b} \right) = {2^{2 - 2ab}}\left( {2 - 2ab} \right)\end{array}\)

    Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {2^t}.t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2.t + {2^t} > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

    Do đó \(f\left( {a + b} \right) = f\left( {2 - 2ab} \right)\)

    \( \Leftrightarrow a + b = 2 - 2ab \Leftrightarrow a\left( {1 + 2b} \right) = 2 - b \Leftrightarrow a = \dfrac{{2 - b}}{{1 + 2b}}\)

    Do \(a > 0 \Rightarrow 2 - b > 0 \Leftrightarrow b < 2\) \( \Rightarrow 0 < b < 2\).

    Khi đó ta có \({a^2} + {b^2} = {\left( {\dfrac{{2 - b}}{{1 + 2b}}} \right)^2} + {b^2} = f\left( b \right)\,\,\left( {0 < b < 2} \right)\).

    Sử dụng MTCT ta tìm được GTNN của \({a^2} + {b^2}\) gần nhất với giá trị 1.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com