Xét a, b dương thoả mãn \({2^{a + b + 2ab - 3}} = \dfrac{{1 - ab}}{{a + b}}\). Giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) gần với giá trị nào dưới đây

Câu 686697: Xét a, b dương thoả mãn \({2^{a + b + 2ab - 3}} = \dfrac{{1 - ab}}{{a + b}}\). Giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) gần với giá trị nào dưới đây

A. \(\dfrac{3}{2}\).

B. \(\dfrac{1}{2}\).

C. 1.

D. 2.

Câu hỏi : 686697

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xét hàm số đặc trưng.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}{2^{a + b + 2ab - 3}} = \dfrac{{1 - ab}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow {2.2^{a + b + 2ab - 3}} = \dfrac{{2\left( {1 - ab} \right)}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow {2^{a + b + 2ab - 2}} = \dfrac{{2 - 2ab}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{2^{a + b}}}}{{{2^{2 - 2ab}}}} = \dfrac{{2 - 2ab}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow {2^{a + b}}.\left( {a + b} \right) = {2^{2 - 2ab}}\left( {2 - 2ab} \right)\end{array}\)
Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {2^t}.t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2.t + {2^t} > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Do đó \(f\left( {a + b} \right) = f\left( {2 - 2ab} \right)\)
\( \Leftrightarrow a + b = 2 - 2ab \Leftrightarrow a\left( {1 + 2b} \right) = 2 - b \Leftrightarrow a = \dfrac{{2 - b}}{{1 + 2b}}\)
Do \(a > 0 \Rightarrow 2 - b > 0 \Leftrightarrow b < 2\) \( \Rightarrow 0 < b < 2\).
Khi đó ta có \({a^2} + {b^2} = {\left( {\dfrac{{2 - b}}{{1 + 2b}}} \right)^2} + {b^2} = f\left( b \right)\,\,\left( {0 < b < 2} \right)\).
Sử dụng MTCT ta tìm được GTNN của \({a^2} + {b^2}\) gần nhất với giá trị 1.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.