Hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), nghịch biến trên đoạn
Hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) và \(f\left( { - 1} \right) = 1,\,\,f\left( 3 \right) = - 2\). Hàm số g(x) có đồ thị đối xứng với đồ thị của hàm số f(x) qua đường thẳng \(y = x\). Khi \(\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} = 5\) thì \(\int\limits_{ - 2}^1 {g\left( x \right)dx} \) bằng
Đáp án đúng là: D
Gọi \(A\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Rightarrow A'\left( {f\left( x \right);x} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\).
Sử dụng phương pháp đổi biến số.
Gọi \(A\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Rightarrow A'\left( {f\left( x \right);x} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\).
\( \Rightarrow x = g\left( {f\left( x \right)} \right) \Rightarrow dx = f'\left( x \right).g'\left( {f\left( x \right)} \right)dx\).
Đặt \(I = \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right).f'\left( x \right).g'\left( {f\left( x \right)} \right)dx} \).
Đặt \(t = f\left( x \right) \Rightarrow dt = f'\left( x \right)dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = f\left( { - 1} \right) = 1\\x = 3 \Rightarrow t = f\left( 3 \right) = - 2\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_1^{ - 2} {tg'\left( t \right)dt} = \int\limits_1^{ - 2} {td\left( {g\left( t \right)} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {tg\left( t \right)} \right|_1^{ - 2} - \int\limits_1^{ - 2} {g\left( t \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2g\left( { - 2} \right) - g\left( 1 \right) + \int\limits_{ - 2}^1 {g\left( t \right)dt} \end{array}\)
Vì \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = g\left( {f\left( { - 1} \right)} \right) = - 1\\g\left( { - 2} \right) = g\left( {f\left( 3 \right)} \right) = 3\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = - 2.3 - \left( { - 1} \right) + \int\limits_{ - 2}^1 {g\left( t \right)dt} = - 5 + \int\limits_{ - 2}^1 {g\left( t \right)dt} \\ \Leftrightarrow 5 = - 5 + \int\limits_{ - 2}^1 {g\left( t \right)dt} \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^1 {g\left( t \right)dt} = 10 \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^1 {g\left( x \right)dx} = 10\end{array}\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com