Hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), nghịch biến trên đoạn

Câu hỏi số 686701:

Vận dụng cao

Hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), nghịch biến trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) và \(f\left( { - 1} \right) = 1,\,\,f\left( 3 \right) = - 2\). Hàm số g(x) có đồ thị đối xứng với đồ thị của hàm số f(x) qua đường thẳng \(y = x\). Khi \(\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} = 5\) thì \(\int\limits_{ - 2}^1 {g\left( x \right)dx} \) bằng

A. -2.

B. 6.

C. 5.

D. 10.

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Gọi \(A\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) \( \Rightarrow A'\left( {f\left( x \right);x} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Sử dụng phương pháp đổi biến số.

Giải chi tiết

\( \Rightarrow x = g\left( {f\left( x \right)} \right) \Rightarrow dx = f'\left( x \right).g'\left( {f\left( x \right)} \right)dx\).

Đặt \(I = \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right).f'\left( x \right).g'\left( {f\left( x \right)} \right)dx} \).

Đặt \(t = f\left( x \right) \Rightarrow dt = f'\left( x \right)dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = f\left( { - 1} \right) = 1\\x = 3 \Rightarrow t = f\left( 3 \right) = - 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_1^{ - 2} {tg'\left( t \right)dt} = \int\limits_1^{ - 2} {td\left( {g\left( t \right)} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left. {tg\left( t \right)} \right|_1^{ - 2} - \int\limits_1^{ - 2} {g\left( t \right)dt} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2g\left( { - 2} \right) - g\left( 1 \right) + \int\limits_{ - 2}^1 {g\left( t \right)dt} \end{array}\)

Vì \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = g\left( {f\left( { - 1} \right)} \right) = - 1\\g\left( { - 2} \right) = g\left( {f\left( 3 \right)} \right) = 3\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = - 2.3 - \left( { - 1} \right) + \int\limits_{ - 2}^1 {g\left( t \right)dt} = - 5 + \int\limits_{ - 2}^1 {g\left( t \right)dt} \\ \Leftrightarrow 5 = - 5 + \int\limits_{ - 2}^1 {g\left( t \right)dt} \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^1 {g\left( t \right)dt} = 10 \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^1 {g\left( x \right)dx} = 10\end{array}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:686701

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.