Cho bất phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} + 2mx + 2{m^2} - 1} \right) \le 1 + {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 3}

Câu hỏi số 686702:

Vận dụng cao

Cho bất phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} + 2mx + 2{m^2} - 1} \right) \le 1 + {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right).{\log _3}\left( {{x^2} + 3} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Tìm m để hàm số luôn xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Do bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên x = -1 là 1 nghiệm của bất phương trình, thay x = -1 vào bất phương trình và giới hạn số giá trị m thoả mãn.

Thử lại với các giá trị m nguyên tìm được, sử dụng Table và CALC trong MTCT.

Giải chi tiết

ĐKXĐ:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 2mx + 2{m^2} - 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' = {m^2} - 2{m^2} + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 - {m^2} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\end{array}\)

+) Do bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên x = -1 là 1 nghiệm của bất phương trình

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\log _3}\left( {2{m^2} - 2m} \right) \le 1 + {\log _2}2.{\log _3}4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2{m^2} - 2m} \right) \le {\log _3}12\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m \le 12\\ \Leftrightarrow - 2 \le m \le 3\end{array}\)

Kết hợp ĐKXĐ \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m \le 3\\ - 2 \le m < - 1\end{array} \right.\). Mà m là số nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ {2;3; - 2} \right\}\).

+) Thử lại:

== Với m = 2 ta có: \({\log _3}\left( {{x^2} + 4x + 7} \right) \le 1 + {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right).{\log _3}\left( {{x^2} + 3} \right)\)

Sử dụng chức năng table trong MTCT ta thấy BĐT trên đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

== Với m = -2 ta có: \({\log _3}\left( {{x^2} - 4x + 7} \right) \le 1 + {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right).{\log _3}\left( {{x^2} + 3} \right)\)

Sử dụng chức năng table trong MTCT ta thấy BĐT trên đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

== Với m = 3 ta có: \({\log _3}\left( {{x^2} + 6x + 17} \right) \le 1 + {\log _2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right).{\log _3}\left( {{x^2} + 3} \right)\)

Sử dụng chức năng CALC trong MTCT ta thấy BĐT trên không đúng khi \(x = - \dfrac{1}{2}\).

Vậy có 2 giá trị nguyên m thoả mãn.

Xem lời giải

Câu hỏi:686702

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.