Một hình thang cân có kích thước như hình vẽ. Khi diện tích của hình thang đã cho lớn nhất thì tổng bình phương độ dài hai đáy bằng

Câu 686703: Một hình thang cân có kích thước như hình vẽ. Khi diện tích của hình thang đã cho lớn nhất thì tổng bình phương độ dài hai đáy bằng

A. 25.

B. 24.

C. 20.

D. 29.

Câu hỏi : 686703

Phương pháp giải:

Đặt \(DH = CK = x\,\,\left( {x > 0} \right)\), tính AH theo x.

Tính diện tích hình thang, bình phương diện tích và sử dụng phương pháp lập BBT để tìm GTLN của hàm số.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi hình thang cân ABCD. Dựng chiều cao AH, BK.
Đặt \(DH = CK = x\,\,\left( {x > 0} \right)\) ta có: \(AH = \sqrt {A{D^2} - D{H^2}} = \sqrt {4 - {x^2}} \)
\( \Rightarrow CD = DH + CK + 2 = 2x + 2\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {2 + 2x + 2} \right).\sqrt {4 - {x^2}} = \sqrt {4 - {x^2}} \left( {x + 2} \right)\\ \Rightarrow S_{ABCD}^2 = \left( {4 - {x^2}} \right){\left( {x + 2} \right)^2} = \left( {4 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) = - {x^4} - 4{x^3} + 16x + 16\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = - {x^4} - 4{x^3} + 16x + 16\,\,\left( {x > 0} \right)\) ta có:
\(f'\left( x \right) = - 4{x^3} - 12{x^2} + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\)
BBT:
\( \Rightarrow S_{ABCD}^2 \le 27 \Rightarrow {S_{ABCD}} \le 3\sqrt 3 \).
Diện tích ABCD đạt giá trị lớn nhất khi x = 1 \( \Rightarrow CD = 2x + 2 = 4\).
Vậy tổng bình phương hai đáy của hình thang khi đó bằng \({2^2} + {4^2} = 20\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.