Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}

Câu hỏi số 686704:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 12\) và điểm A(1;4;3). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng

A. \(\dfrac{{32}}{3}\).

B. \(\dfrac{{34}}{3}\).

C. \(\dfrac{{35}}{3}\).

D. \(\dfrac{{31}}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Chứng minh \(A \in \left( S \right)\) \( \Rightarrow \left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau \( \Rightarrow \) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là \(R = \dfrac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2}\)

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau \( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD\).

Giải chi tiết

Thay toạ độ điểm A vào mặt cầu (S) ta có: \({\left( {1 + 1} \right)^2} + {\left( {4 - 2} \right)^2} + {\left( {3 - 1} \right)^2} = 4 + 4 + 4 = 12 \Rightarrow A \in \left( S \right)\).

\( \Rightarrow \left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;1), bán kính \(R = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \).

Đặt AB = b, AC = c, AD = d ta có \(R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} + {d^2}} }}{2} = 2\sqrt 3 \Rightarrow {b^2} + {c^2} + {d^2} = 48\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(48 = {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {bcd} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{{\left( {bcd} \right)}^2}}} \le 16 \Leftrightarrow bcd \le 64\).

Khi đó ta có \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD = \dfrac{1}{6}bcd \le \dfrac{{64}}{6} = \dfrac{{32}}{3}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:686704

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.