Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}

Câu hỏi số 686704:

Vận dụng cao

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 12\) và điểm A(1;4;3). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng

A. \(\dfrac{{32}}{3}\).

B. \(\dfrac{{34}}{3}\).

C. \(\dfrac{{35}}{3}\).

D. \(\dfrac{{31}}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:686704

Phương pháp giải

Chứng minh \(A \in \left( S \right)\) \( \Rightarrow \left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau \( \Rightarrow \) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là \(R = \dfrac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2}\)

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau \( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD\).

Giải chi tiết

Thay toạ độ điểm A vào mặt cầu (S) ta có: \({\left( {1 + 1} \right)^2} + {\left( {4 - 2} \right)^2} + {\left( {3 - 1} \right)^2} = 4 + 4 + 4 = 12 \Rightarrow A \in \left( S \right)\).

\( \Rightarrow \left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;1), bán kính \(R = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \).

Đặt AB = b, AC = c, AD = d ta có \(R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} + {d^2}} }}{2} = 2\sqrt 3 \Rightarrow {b^2} + {c^2} + {d^2} = 48\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(48 = {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {bcd} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{{\left( {bcd} \right)}^2}}} \le 16 \Leftrightarrow bcd \le 64\).

Khi đó ta có \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD = \dfrac{1}{6}bcd \le \dfrac{{64}}{6} = \dfrac{{32}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.