Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 12\) và điểm A(1;4;3). Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
Đáp án đúng là: A
Chứng minh \(A \in \left( S \right)\) \( \Rightarrow \left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau \( \Rightarrow \) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là \(R = \dfrac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2} + A{D^2}} }}{2}\)
Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau \( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD\).
Thay toạ độ điểm A vào mặt cầu (S) ta có: \({\left( {1 + 1} \right)^2} + {\left( {4 - 2} \right)^2} + {\left( {3 - 1} \right)^2} = 4 + 4 + 4 = 12 \Rightarrow A \in \left( S \right)\).
\( \Rightarrow \left( S \right)\) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;1), bán kính \(R = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \).
Đặt AB = b, AC = c, AD = d ta có \(R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} + {d^2}} }}{2} = 2\sqrt 3 \Rightarrow {b^2} + {c^2} + {d^2} = 48\).
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(48 = {b^2} + {c^2} + {d^2} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {bcd} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{{\left( {bcd} \right)}^2}}} \le 16 \Leftrightarrow bcd \le 64\).
Khi đó ta có \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}AB.AC.AD = \dfrac{1}{6}bcd \le \dfrac{{64}}{6} = \dfrac{{32}}{3}\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com