Cho hàm số \(f(x) = {x^4} - 3{x^3} + (m + 1){x^2} - (2m + 9)x + 5\), với \(m\) là tham số thực. Gọi

Câu hỏi số 687358:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x) = {x^4} - 3{x^3} + (m + 1){x^2} - (2m + 9)x + 5\), với \(m\) là tham số thực. Gọi \(\alpha \) là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\). Khi \(\alpha \) đạt giá trị lớn nhất bằng \({\alpha _{\max }}\) thì tham số \(m = {m_0}\). Giá trị của biểu thức \(T = {\alpha _{{\rm{max }}}} + {m_0}\) là:

A. \( - \dfrac{{25}}{2}\)

B. \( - \dfrac{{137}}{3}\)

C. \(0\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:687358

Giải chi tiết

Vì \(f\left( x \right)\) là đa thức bậc \(4\) có hệ số \(a > 0\) nên đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) hướng lên.

Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb{R}\) tại các giá trị cực tiểu của hàm số.

Ta có \(f(x) = {x^4} - 3{x^3} + (m + 1){x^2} - (2m + 9)x + 5 = {x^4} - 3{x^3} + {x^2} - 9x + 5 + m\left( {{x^2} - 2x} \right)\)

Suy ra đồ thị hàm số luôn đi qua 2 điểm cố định là \(A\left( {0;5} \right),B\left( {2; - 17} \right)\).

Vì \(\alpha \) là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\) nên suy ra \(\alpha \le - 17 \Rightarrow {\alpha _{\max }} = - 17\) tại \(x = 2\).

Suy ra \(B\left( {2; - 17} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Ta có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 9{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - \left( {2m + 9} \right)\),

Vì \(x = 2\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nên \(f'\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow 2m - 9 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{9}{2}\).

Thử lại, khi \(m = \dfrac{9}{2}\) thì \(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 9{x^2} + 11x - 18 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\) là \( - 17\) tại \(x = 2\).

Suy ra \(T = {\alpha _{{\rm{max }}}} + {m_0} = - 17 + \dfrac{9}{2} = - \dfrac{{25}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.