Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} + 1} \). Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} + 1} \). Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), phương trình \(f\left( {\dfrac{{x - 3}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}} \right) \cdot f\left( {\dfrac{{x - 1}}{x} - m} \right) = 1\) có đúng hai nghiệm thực phân biệt?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Nhận xét hàm \(f\left( x \right)\) là hàm số luôn đồng biến và là hàm số lẻ
\(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow f'\left( x \right) = 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Do \(\left| {\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right| < 1 \Rightarrow - 1 < \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} < 1 \Rightarrow f'\left( x \right) > 0\) với mọi x
Suy ra \(f\left( x \right)\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Ta có \(f\left( { - x} \right) = - x + \sqrt {{x^2} + 1} = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {\dfrac{{x - 3}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}} \right) \cdot f\left( {\dfrac{{x - 1}}{x} - m} \right) = 1\\ \Leftrightarrow f\left( {\dfrac{{x - 3}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}} \right) = \dfrac{1}{{f\left( {\dfrac{{x - 1}}{x} - m} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} = - \left( {\dfrac{{x - 1}}{x} - m} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{x} = m\end{array}\)
Đặt \(g\left( x \right) = \dfrac{{x - 3}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{x}\)
\(\begin{array}{l} = 1 - \dfrac{1}{{x - 2}} + 1 - \dfrac{1}{{x - 1}} + 1 - \dfrac{1}{x} = 3 - \dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{x}\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} > 0\end{array}\)
Vậy ta có BBT
Vậy để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thì \(m = 3\)
Vậy có duy nhất 1 giá trị m nguyên thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
