Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A,\,\,\angle SBA = 90^\circ ,\,\,\angle

Câu hỏi số 688021:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A,\,\,\angle SBA = 90^\circ ,\,\,\angle SCA = 90^\circ ,\,\,BC = a\sqrt 2 ,\,\,SA = a\sqrt 5 \). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\)

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

C. \({a^3}\sqrt 3 \).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688021

Phương pháp giải

Kẻ \(CH \bot SA\left( {H \in SA} \right)\). Chứng minh \(BH \bot SA \Rightarrow SA \bot \left( {HBC} \right)\)

Khi đó \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{BCH}}\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta SAB = \Delta SAC\) (2 cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \angle SAB = \angle SAC\)

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(CH \bot SA\left( {H \in SA} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:

\(\begin{array}{l}AB = AC\,\left( {gt} \right)\\\angle HAB = \angle HAC\left( {cmt} \right)\\HA\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta ABH = \Delta ACH\left( {c.g.c} \right)\\ \Rightarrow \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \\ \Rightarrow BH \bot SA\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(SA \bot \left( {BCH} \right)\)

\(\Delta SAC\) vuông tại \(C\) có: \(CH = \dfrac{{SC.CA}}{{\sqrt {S{C^2} + C{A^2}} }} = \dfrac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

Do đó \(BH = CH = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\)

Ta có: \(\cos \angle BHC = \dfrac{{B{H^2} + C{H^2} - B{C^2}}}{{2BH.CH}} = \dfrac{{\dfrac{{4{a^2}}}{5} + \dfrac{{4{a^2}}}{5} - 2{a^2}}}{{2.\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}.\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}} = \dfrac{{ - 1}}{4} \Rightarrow \sin \angle BHC = \sqrt {1 - \dfrac{1}{{16}}} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{4}\)

Khi đó \({S_{BHC}} = \dfrac{1}{2}BH.HC\sin \angle BHC = \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}} \right)^2}.\dfrac{{\sqrt {15} }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{{10}}\)

Vậy thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{BCH}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 5 .\dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{{10}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.