a) Tìm các số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(4{x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2(2x + 3y) + 4 \le 0.\)b) Cho

Câu hỏi số 688614:

Vận dụng

a) Tìm các số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(4{x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2(2x + 3y) + 4 \le 0.\)

b) Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực khác không thỏa mãn \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0.\)

Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 2ca}} + \dfrac{1}{{{c^2} + 2ab}} = 0.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688614

Phương pháp giải

a) Phân tích ta có \(4{x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2(2x + 3y) + 4 \le 0 \Leftrightarrow {(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} \le 1\)

Từ đó chia hai trường hợp để tìm số nguyên.

b) Từ đề bài \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca = 0\).

Giải chi tiết

a) Ta có \(4{x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2(2x + 3y) + 4 \le 0 \Leftrightarrow {(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} \le 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 1\\{(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 0\end{array} \right.\)

TH1: \({(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.\)

TH2: \({(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\4{(y + 1)^2} = 1\end{array} \right.\,\,(vn)\\\left\{ \begin{array}{l}{(2x - y + 1)^2} = 1\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(2x + 2)^2} = 1\\y = - 1\end{array} \right.\,\,(vn).\end{array} \right.\)

Vậy có đúng một cặp số thỏa mãn \((x\,\,;\,\,y) = ( - 1\,\,;\,\, - 1)\)

b) \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca = 0\)

Ta có : \({a^2} + 2bc = {a^2} + bc + ( - ab - ca) = (a - b)(a - c).\)

Tương tự có: \({b^2} + 2ca = (b - c)(b - a);\,\,\,{c^2} + 2ab = (c - a)(c - b).\,\,\,\)

\(\dfrac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 2ca}} + \dfrac{1}{{{c^2} + 2ab}} = \dfrac{1}{{(a - b)(a - c)}} + \dfrac{1}{{(b - c)(b - a)}} + \dfrac{1}{{(c - a)(c - b)}}\)

\( = \dfrac{1}{{(a - b)(a - c)}} - \dfrac{1}{{(b - c)(a - b)}} + \dfrac{1}{{(a - c)(b - c)}} = \dfrac{{b - c - (a - c) + a - b}}{{(a - b)(b - c)(a - c)}} = 0\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link