a) Tìm các số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(4{x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2(2x + 3y) + 4 \le 0.\)b) Cho

Câu hỏi số 688614:

Vận dụng

a) Tìm các số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(4{x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2(2x + 3y) + 4 \le 0.\)

b) Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực khác không thỏa mãn \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0.\)

Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 2ca}} + \dfrac{1}{{{c^2} + 2ab}} = 0.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688614

Phương pháp giải

a) Phân tích ta có \(4{x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2(2x + 3y) + 4 \le 0 \Leftrightarrow {(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} \le 1\)

Từ đó chia hai trường hợp để tìm số nguyên.

b) Từ đề bài \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca = 0\).

Giải chi tiết

a) Ta có \(4{x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2(2x + 3y) + 4 \le 0 \Leftrightarrow {(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} \le 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 1\\{(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 0\end{array} \right.\)

TH1: \({(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.\)

TH2: \({(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\4{(y + 1)^2} = 1\end{array} \right.\,\,(vn)\\\left\{ \begin{array}{l}{(2x - y + 1)^2} = 1\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(2x + 2)^2} = 1\\y = - 1\end{array} \right.\,\,(vn).\end{array} \right.\)

Vậy có đúng một cặp số thỏa mãn \((x\,\,;\,\,y) = ( - 1\,\,;\,\, - 1)\)

b) \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca = 0\)

Ta có : \({a^2} + 2bc = {a^2} + bc + ( - ab - ca) = (a - b)(a - c).\)

Tương tự có: \({b^2} + 2ca = (b - c)(b - a);\,\,\,{c^2} + 2ab = (c - a)(c - b).\,\,\,\)

\(\dfrac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 2ca}} + \dfrac{1}{{{c^2} + 2ab}} = \dfrac{1}{{(a - b)(a - c)}} + \dfrac{1}{{(b - c)(b - a)}} + \dfrac{1}{{(c - a)(c - b)}}\)

\( = \dfrac{1}{{(a - b)(a - c)}} - \dfrac{1}{{(b - c)(a - b)}} + \dfrac{1}{{(a - c)(b - c)}} = \dfrac{{b - c - (a - c) + a - b}}{{(a - b)(b - c)(a - c)}} = 0\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link