a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 2)(2 - y) = 8\\\sqrt {11 - 4(x - y)} + {x^2}{y^2} +

Câu hỏi số 688615:

Vận dụng cao

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 2)(2 - y) = 8\\\sqrt {11 - 4(x - y)} + {x^2}{y^2} + 1 = 3xy.\end{array} \right.\)

b) Giải phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x + 11} - \sqrt {x + 2} = 2x - 2.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688615

Phương pháp giải

a) Từ phương trình thứ nhất ta phân tích thành \(2\left( {x - y} \right) = 4 + xy\) và thế vào phương trình thứ hai.

b) Ta phân tích thành \(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + 5(x + 2)} - \sqrt {x + 2} = 2(x - 1)\). Từ đó xét trường hợp và đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết

a) ĐK: \(11 - 4(x - y) \ge 0\)

\((x + 2)(2 - y) = 8 \Leftrightarrow 2\left( {x - y} \right) - xy = 4 \Rightarrow 2\left( {x - y} \right) = 4 + xy\)

Thế vào phương trình (2) ta có:

\(\sqrt {11 - 2(4 + xy)} + {x^2}{y^2} - 3xy + 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {3 - 2xy} + {x^2}{y^2} - 3xy + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {3 - 2xy} - 1} \right) + {x^2}{y^2} - 3xy + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2(1 - xy)}}{{\sqrt {3 - 2xy} + 1}} + (1 - xy)(2 - xy) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {1 - xy} \right)\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {3 - 2xy} + 1}} + 2 - xy} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow xy = 1\) (Do \(\dfrac{2}{{\sqrt {3 - 2xy} + 1}} + 2 - xy > 0,\,\,\,\forall xy \le \dfrac{3}{2}\))

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 1\\2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{x}\\2\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{x}\\2{x^2} - 5x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{x}\\x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {41} }}{4}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

\(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\dfrac{{5 + \sqrt {41} }}{4};\dfrac{{ - 5 + \sqrt {41} }}{4}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{{5 - \sqrt {41} }}{4};\dfrac{{ - 5 - \sqrt {41} }}{4}} \right)\)

b) ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 11 \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge - 2\)

\(\sqrt {{x^2} + 3x + 11} - \sqrt {x + 2} = 2x - 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 5(x + 2)} - \sqrt {x + 2} = 2(x - 1)\)

Xét \(x = - 2\) (không phải là nghiệm)

Xét \(x > - 2\) Chia hai vế phương trình cho\(\sqrt {x + 2} \) ta được:\(\sqrt {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{x + 2}} + 5} - 1 = \dfrac{{2(x - 1)}}{{\sqrt {x + 2} }}.\)

Đặt \(t = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 2} }}\) ta được phương trình:\(\sqrt {{t^2} + 5} - 1 = 2t\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 5} = 2t + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t + 1 \ge 0\\{t^2} + 5 = {(2t + 1)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - \dfrac{1}{2}\\3{t^2} + 4t - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge - \dfrac{1}{2}\\t = - 2;\,\,t = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{3}\)

Khi \(t = \dfrac{2}{3}\) ta được phương trình:\(\dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 2} = 3(x - 1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\4(x + 2) = 9{(x - 1)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\9{x^2} - 22x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = \dfrac{{11 \pm 4\sqrt 7 }}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{11 + 4\sqrt 7 }}{9}.\)

Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm \(x = \dfrac{{11 + 4\sqrt 7 }}{9}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link