Trên đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB = 2R\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = R\) và \(M\) là một

Câu hỏi số 690374:

Vận dụng cao

Trên đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB = 2R\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = R\) và \(M\) là một điểm thay đổi trên cung nhỏ \(BN\) (\(M\) khác \(B\) và \(N\)). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(BN,H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(AB,IH\) cắt \(AN\) tại \(C,K\) là điểm đối xứng với \(N\) qua \(AB.\)

a) Chứng minh \(CM.CB = CI.CH\) và ba điểm \(K,H,M\) thẳng hàng.

b) Gọi \(P\) là giao điểm thứ hai của \(NH\) và \(\left( O \right)\). Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HPK\) thuộc đường thẳng cố định khi \(M\) thay đổi.

c) Xác định vị trí của điểm \(M\) để tổng \(MB + MN\) đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690374

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Tam giác \(ABC\) nhận \(I\) làm trực tâm do có hai đường cao \(BN,CH\) cắt nhau tại \(I\) nên \(BC \bot AI\) (1).

Mặt khác \(\angle {AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(BM \bot AI\) (2).

Từ (1) và (2), suy ra ba điểm \(B,M,C\) thẳng hàng.

Hai tam giác vuông \(BHC,IMC\) có \(\angle C\) chung nên đồng dạng.
Suy ra \(\dfrac{{CI}}{{CB}} = \dfrac{{CM}}{{CH}} \Leftrightarrow CM.CB = CI.CH\).
Tứ giác \(ACMH\) nội tiếp nên \(\angle {BHM} = \angle {ACM},BCNH\) nội tiếp nên \(\angle {AHN} = \angle {ACM}\).
Suy ra \(\angle {AHN} = \angle {BHM}\).
Mà do tính đối xứng nên \(\angle {AHN} = \angle {AHK}\).

Vậy \(\angle {AHK} = \angle {BHM}\). Vậy \(K,H,M\) thẳng hàng.

b) Theo tính chất đối xứng, ta có: \(\angle {NOA} = \angle {AOK}\)
Mặt khác: \(\angle {AOK} = \dfrac{1}{2}\angle {NOK},\angle {NPK} = \dfrac{1}{2}\angle {NOK}\) (cùng bằng một nửa góc \(\angle {NOK}\) ).
Do đó \(\angle {AOK} = \angle {NPK}\). Suy ra tứ giác \(OHPK\) nội tiếp.
Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(HPK\) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OPK\). Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HPK\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(OK\).

Do \(N\) cố định nên \(K\) cố định. Suy ra \(OK\) cố định, (đpcm).

c) Lấy \(E\) thuộc đoạn \(MK\) sao cho \(ME = MN\), suy ra tam giác \(MNE\) cân tại \(M\).
Mặt khác \(\angle {NME} = \angle {NBK} = 2 \cdot \angle {NBA} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ \) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(NK\) )
Vậy tam giác \(MNE\) dều.
Xét tam giác \(MNB\) và \(ENK\) có: \(MN = NE,NB = NK\).
Lai có: \(\angle {MNB} + \angle {BNK} = \angle {MNK},\angle {KNE} + \angle {ENM} = \angle {MNK},\angle {BNK} = \angle {ENM} = 60^\circ \) (do hai tam giác \(MNE,BNK\) đều). Suy ra \(\angle {MNB} = \angle {KNE}\).
Do đó tam giác \(MNB\) và \(ENK\) bằng nhau.
Suy ra \(MB = EK\).
\( \Rightarrow MB + MN = KE + ME = KM\).
Vậy tổng \(MB + MN\) đạt giá trị lớn nhất khi \(KM\) là đường kính của đường tròn tâm \(O\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link