Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - 4z = 0\) và điểm

Câu hỏi số 690519:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - 4z = 0\) và điểm \(A\left( {4;4;O} \right)\), \(B\) là một điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho tam giác \(OAB\) đều. Biết rằng mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) không đi qua điểm \(C\left( {1;0;1} \right)\). Khoảng cách từ điểm \(M\left( {5; - 1;3} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) bằng

A. \(3\sqrt 3 \).

B. \(\sqrt 3 \).

C. 1 .

D. \(3\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690519

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2,2,2} \right),R = 2\sqrt 3 \)

Do tam giác \(OAB\) đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OAB\) là

\(r = \dfrac{{OA}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)

\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)

Do \(\left( P \right)\) qua O nên có dạng \(ax + by + cz = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 0\)

Do \(\left( P \right)\) qua A nên \(4a + 4b = 0 \Leftrightarrow b = a\)

\(\begin{array}{l}d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2a + 2b + 2c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{{2\left| c \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }}\\ \Rightarrow \dfrac{{2\left| c \right|}}{{\sqrt {2{a^2} + {c^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow 3{c^2} = 2{a^2} + {c^2} \Rightarrow c = \pm a\end{array}\)

Khi đó \(\left( P \right)\) có dạng \(\left[ \begin{array}{l}ax - ay + az = 0\\ax - ay - az = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y + z = 0\\x - y - z = 0\end{array} \right.\)

Do (P) không đi qua C(1,0,1) nên \(\left( P \right):x - y + z = 0\)

Vậy \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {5 + 1 + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = 3\sqrt 3 \)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.